問 題
x の 3 次式 f(x) を (x+1)(x-3) で割った余りは 16x + 12 であり、(x-1)(x-2)で割った余りは 16 x – 12 である。このとき、f(x) を (x+1)(x-2) で割った余りとして正しいのはどれか。
1． -44
2． 44
3． 8x – 4
4． 8x + 4
5． 16x – 8
正解 (4)
解 説
【割り算の基礎知識】
割り算において、数でも式でも「A ÷ B = C…R」※C が商、R が余り と表すことができます。この時、A = BC + R です。余りが式である場合は R(x) などと表すと式であることがわかりやすいです。
f(x) を (x+1)(x-3) で割った余りは 16x + 12 なので、商を C とすれば「f(x) = (x+1)(x-3) × C + (16x + 12)」…(1) と表せます。
(1) において x = -1 を代入すれば
f(-1) = -4 とわかります。
ーーー
f(x) を (x+1)(x-2) で割った余りを R(x) とおきます。商を C’ とします。f(x) = (x+1)(x-2) × C’ + R(x)…(2) と表せます。
(2) の両辺に x = -1 を代入すると
f(-1) = R(-1) です。従って、R(-1) = -4 です。
選択肢 において
x = -1 を代入した時に -4 となるのは「8x + 4」だけです。
以上より、正解は 4 です。
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