公務員試験 H29年 国家一般職(土木) No.3解説

　問 題　　　　　

xy平面上の点(1、－1)から曲線 y = 1/3 x³ ー x に傾きが正の接線を引いたとき、その傾きの値として正しいのはどれか。

1. 1/2
2. 3/4
3. 5/4
4. 3/2
5. 7/4

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解法１　大雑把な評価で選択肢を絞る】

y = 1/3 x³ ー x のグラフをできるだけ正確に書きます。x = 0 の時、y = 0 です。また、右辺は

とかけるので、x = ±√3 の時も y = 0 です。以上を参考にして、下図のようになります。

赤い線が接線です。すると、接線の傾きは「(1,-1)と(√3,0)」を結ぶ直線よりも少し小さい傾きである　と評価できます。√3 ≒ 1.7 です。

従って、「(1,-1)と(√3,0)」を結ぶ直線　は右に 0.7 進んで、上に 1 上がる直線です。この傾きは、1/0.7≒ 1.4 です。　

これより少し小さい傾きとなれば、選択肢の中では 5/4 となります。

よって正解は 3 です。

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【解法2 微分で求める】

y = 1/3 x³ ー x を微分すると、y’ = x² ー 1 です。

接点を（t,1/3 t³ ー t）とおきます。接線の傾きは (t² ー 1) とかけます。

接線の式は

l：y = (t² ー 1) x ＋β

とおくことができ、点（t,1/3 t³ ー t）を通ることから、

β = ー2/3 t³

とわかります。

改めて、接線の式は

l：y = (t² ー 1) x ＋(ー2/3 t³)

です。点（1,-1）を通る時、

－１=(t² ー 1)  ー2/3 t³

が成り立ちます。

ー2/3 t³ + t² = 0

ー2/3 t + 1 = 0

∴ t = 3/2 です。

※ここで正解が 4 と間違えないように！
※この t は接点の x 座標です。傾きではありません。

接線の傾きは

(3/2)² ー１
= 9/4 ー１
= 5/4 です。

正解は 3 です。