公務員試験 H28年 国家一般職(土木) No.6解説

　問 題　　　　　

x＞0、y＞0、x＋y=1のとき、log₂x＋log₂yの最大値はいくらか。

1. －2
2. －1
3. 0
4. 1
5. 2

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解法１：対数方程式として考える】

対数方程式の最大・最小問題としてとらえると、文字が２つなので x + y = 1 ↔ y = 1 – x を利用して１文字にします。

log₂x + log₂(1-x)
= log₂x(1-x) です。

ここでg(x) = x(1-x) とおけば、g’(x) = -2x+1 です。よって、x = 1/2 の時 g’(x)= 0、この時が 最大と考えられます。

x = 1/2 の時、y = 1/2 です。log₂x＋log₂y の値は －2となります。

従って正解は 1 です。

以下は解法１がしっくり来ない人やあっさりと解ける人用。色々な解き方を通じて、選択肢を消すことができるツールを一つでも多く身につけてみてください！

【解法２　具体的に（色々）考える】

x＞0、y＞0、x＋y=1 なので、x も y も 0~1 の範囲です。y = log₂x のグラフの概形を思い出せば、x の所に 0~1 までしか入らないのであれば log₂x の値は明らかに負です。

log₂x＋log₂y はどちらの項も絶対に負なので、正解は 1 or 2 となります。

ぜひここまでは確実に選択肢をしぼってほしい問題です。

次に、「log₂x＋log₂y = -1」 がなりたつかを検討します。成り立つ x,y があれば正解は 2 です。なければ正解は 1 となります。

log₂x + log₂y = log₂xy と表せます。従って、log₂x + log₂y = -1　がなりたつならlog₂xy = -1 です。つまり xy = 1/2 です。

x＞0、y＞0、x+y = 1 かつ xy = 1/2 が成り立つような x,y の組があるか　を考えます。

２－１【それぞれのグラフで考える】（個人的にはこれが一番わかりやすくて好きです。）

xy = 定数 という式は反比例のグラフです。xy = 1/2 では (1,1/2),(1/2,1) を通るのが明らかなので、以下のようなグラフになります。

明らかに 2 つのグラフは交わりません。つまり、２つの式を同時に満たす x,y の組はありません。よって、正解は 1 です。

２－２【解と係数の関係で考える】

解と係数の関係より x+y = 1,xy = 1/2 を満たす x,y とは

「x² – x + 1/2 = 0」・・・（１）

を満たす2つの解 x₁,x₂ に他なりません。

（１）の判別式を考えると、D = 1 -2 = -1 < 0 なので、この式（１）は実数解を持ちません。

よって、正解は 1 です。  

２－３【相加相乗で考える】

1/2 (x+y) ≧ √xy なので、√xy ≦ 1/2、xy ≦ 1/4  となります。従って、xy = 1/2 は無理です。

よって、正解は 1 です。