公務員試験 H26年 国家一般職(土木) No.1解説

　問 題　　　　　

sinθ＋cosθ=a(aは定数)のとき、sinθcosθ及びsinθ－cosθの組合せとして正しいのはどれか。

ただし0＜θ＜π/4とする。

　解 説　　　　　

解法１【三角関数の知識を使う】

sinθ+cosθ = a の両辺を二乗します。

ここで、sin²θ＋cos²θ = 1 です。

(sinθ+cosθ)² = a²

sin²θ+2sinθcosθ + cos²θ = a²

1 + 2sinθcosθ = a²

∴ sinθcosθ = a² -1 /2

です。正解は 1 or 2 です。

また、sinθ – cosθ を直接は求めることはできませんが、二乗すれば

(sinθ – cosθ)²
=sin²θ+cos²θ -2sinθcosθ
=1-2sinθcosθ
=1-2 ×（a² – 1/2）
=1-(a² -1)
=2-a²

なので±√　します。sin θ ー cos θ　は0~π/4 で明らかに負なので、答えはー√ 2-a²　です。

以上より、正解は 1 です。

【解法２　具体的な数で考える】

θを、有名角である 30°とします。

sin30° = 1/2 = 0.5

cos30° = √3/2 です。

√3 ≒ 1.7 なのでcos30° ≒ 0.85 です。

従って、

a = sin30° + cos30°
≒ 0.5 + 0.85
≒ 1.35 です。

すると、a² = (1.35)² ≒ 1.8です。

a² – 1 ≒ 0.8 とわかります。

(a² – 1)/2 ≒ 0.4 です。

一方、

sin30°cos30°
= 1/2 × √3/2
≒ 0.5 × 0.85
≒ 0.4 です。

以上より、sin30°cos30° ≒ (a² – 1)/2 です。

従って、正解は 1 or 2 です。

以下、選択肢 1,2 の検討をします。

θ = 30°の時、a2 ≒ 1.8 でした。よって、２－a² ≒ 0.2 です。√0.2 は、大体 0.4~0.5 です。（√0.2 とは「二乗したら 0.2 になる数」です。0.4² = 0.16,0.5² = 0.25 なので、√0.2 は0.4~0.5 ぐらいとわかります。）

sin30°-cos30°
≒ 0.5 – 0.85
≒ -0.35 

だいぶ近いです。

一方、4-a² = 2.2 なので(4-a²)/2 ≒ 1.1 です。√をとってもほぼ 1 です。明らかに誤りです。

以上より、正解は 1 です。