問 題
複素数 α = 1-√3i (i は虚数単位)において、αn が実数となるための正の整数 n の条件として正しいのはどれか。ただし選択肢において、 k は正の整数とする。
- n = 3k – 1
- n = 3k
- n = 4k – 1
- n = 4k
- n = 4k + 1
正解 (2)
解 説
【解法1】
具体的に考えます。複素数についての知識がなくても解ける問題です。
※i2 = -1 だけ必要。
α2 = (1-√3i)(1-√3i)
= 1 ー 2√3i ー 3
= -2ー2√3i です。
α3 = (ー2ー2√3i)(1 – √3i)
= ー2 +2√3i ー2√3i ー6
= -8です。
従って、n = 3 の時実数なので正解は 選択肢 2 or 3 です。そして、α3 = -8ならα6 = (α3)2 = 64 です。従って、n = 6 の時も成り立ちます。
以上より、正解は 2 です。
【解法2】
α = 2(cos(-60°)+sin(-60°))と極形式表示すれば、ド・モアブルの定理より
αn = 2n(cos(-60n°)+i sin(-60n°))
これが実数ならば、sin(-60n°)が0。従って、n = 3k です。
以上より、正解は 2 です。
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