公務員試験 2022年 国家一般職(土木) 工学に関する基礎 No.7 解説

　問 題　　　　　

1．-2
2．-1
3． 0
4． 1
5． 2

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【指数・対数の基礎知識】
まず、指数が「数字の肩に乗ってる小さな数」です。2³ の「３」が指数の例です。そして対数は、指数部分の別表現です。「log _底真数」という表現をします。

先程の 2³ の 指数部分である「3」 を、対数表現すると log₂8 です。底は「もともとなんていう数字に乗っかってたか」です。２の肩にのっかってたんだから 底が 2 です。真数は「結局全体として、数がいくつか」です。2³ = 8 だから、真数が８です。

本問は 「(log₃x)² + 8log_1/93x + log₃81 の最大値」が問われています。まず、log₃81 = 4 です。この部分は定数です。そのため (log₃x)² + 8log_1/93x の最大値を考えればよいです。そこで y = (log₃x)² + 8log_1/93x とおきます。

ここから最大値をみつける方法を、以下 2 つ解説します。

【方法 1：底の変換公式等を用いる】
各項で底が異なるため、底を 3 に揃えて整理します。底の変換公式は以下の通りです。

整理して log₃x = X (0 ≦ X ≦ 3) とおけば、y = X² – 4X – 4 となります。

この 2 次関数は X = 2 の時最小値をとるので、0 ≦ X ≦ 3 の範囲で最大値をとるのは X = 0 の時です。つまり x = 1 の時に最小値をとります。元の式に x = 1 を代入すれば、0² + 8 × (-1/2) + 4 = 0 です。

以上より、正解は 3 です。

【方法 2：グラフの概形から推測　おすすめ】
y = (log₃x)² + 8log_1/93x とおきます。対数部分の計算がしやすい値として、3⁰、3¹… を代入します。

・x = 1 を代入します。
0² – 8 × 1/2 = -4 です。

・x = 3 を代入します。
1² +8 × -1 = -7 です。

・x = 9 を代入します。
2² + 8 × (-3/2) = -8 です。

・x = 27 を代入します。
3² + 8 × (-2) = -7 です。

グラフの概形は以下の通りです。

x = 1 の時が最大値と推測されます。元の式に x = 1 を代入すれば、0² + 8 × (-1/2) + 4 = 0 です。

以上より、正解は 3 です。