問 題
n は 5 で割ると 3 余る正の整数、m は 5 で割ると 2 余る正の整数である。このとき、n11 + m11 を 5 で割ったときの余りはいくらか。
1． 0
2． 1
3． 2
4． 3
5． 4
解 説
【具体的に考える １】
n の例として３、m の例として２があげられます。35 = 243、36 = 729 です。311 = 35 × 36 であり、５で割った時の余りを考えるためには、結局１の位がわかればよいです。1 の位に注目すれば、3 × 9 = 27 なので、311 の１の位は７とわかります。５で割った余りは２です。
また、210 = 1024 なので、211 = 1024 × 2 = 2048 です。2048 を５で割った余りは３です。
それぞれ５で割った余りが２，３なので、たせば５なので、結局余り０です。
以上より、正解は 1 です。
↓個人的には一番推奨！
【具体的に考える ２ ー規則性に注目ー】
21 + 31 であれば、５で割ると余り０
22 + 32 であれば、５で割ると余り３
23 + 33 であれば、５で割ると余り０
24 + 34 であれば、５で割ると余り２
25 + 35 であれば、５で割ると余り０
あたりまで具体的に計算することで、指数部分が奇数の時は、余りが０という規則性に注目してもよいと思われます。
参考
たまに参考書とかにあり
公務員試験の勉強としては全くおすすめしない、二項定理による解き方
n = 5k + 3、m = 5l + 2 とする。二項定理より
・n11 = (5k + 3)11 → 5 ×（・・・）＋311
・m11 = (5l + 2)11 → 5 ×（・・・）＋211 と
５の因数とそれ以外に分けることができる。結局、311 + 211 について考えればよい。
さらに、３＝５－２として
（５－２）11 + 211 と見れば、（５－２）11 → 5 ×（・・・）＋（－２）11 + 211 と表せる。（－２）11＋２11＝０となるため、５で割った余りは０とわかる。という流れです。
繰り返しますが、公務員試験において「二項定理を使う」という手法は、数学めちゃくちゃ得意でたまらない人以外に全く推奨しません。
コメント