問 題
赤玉 a 個、青玉 b 個、白玉 c 個合わせて 100 個が入った袋がある。この袋から無作為に 1 個の玉を取り出し、色を調べてから取り出した玉を元に戻す操作を n 回繰り返すとき、赤玉を取り出した回数を X とする。X の期待値 E (X) が 56 、分散 V (X) が 18/25 であるとき、回数 n はいくらか。
なお、 1 回の試行で事象 A の起こる確率が p であるとして、この試行を m 回繰り返すとき、事象 A の起こる回数 Y は確率変数であり、この Y の確率分布は二項分布 B (m、p) で表される。確率変数 Y が二項分布 B (m、p) に従うとき、期待値と分散はそれぞれ E (Y) = mp、V (Y) = mp (1-p) となる。
1． 3
2． 4
3． 5
4． 6
5． 8
正解 (1)
解 説
問題文にある二項分布の期待値と分散の式から
mp = 6/5、mp(1-p) = 18/25 です。
選択肢 1 が正解と仮定すれば
m = 3
→ p = 2/5 → 1-p = 3/5
→ mp(1-p) = 3 × 2/5 × 3/5 = 18/25 です。妥当です。
ちなみにですが
この時、p = 2/5 なので、赤玉が 40 個入っていることになります。
以上より、正解は 1 です。
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