2019 (R1) 年 国税専門官 情報数学 No.64 解説

　問 題　　　　　

等比数列 {a_n} (n = 1,2,⋯) について

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【等比数列の基本】
等比数列は、同じ数をかけていってできる数列です。
初項を a₁、公比を r、n 番目の項を a_n、1 項目から n 項目までの和を S_n とおくと
・a_n = a₁ × r^n-1
・S_n = a(rⁿ – 1)/(r – 1)　です。

a₆ = a₁ × r⁵ です。
従って、求めたい a₆/a₁ = r⁵ です。

Σ を展開すると
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = √3 － 1・・・(1)
a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀ = √3 + 1・・・(2) と表せます。

ここで (1) の両辺に r⁵ をかけると
a₁ × r⁵ = a₆、a₂ × r⁵ = a₇ … であるため
左辺：r⁵ × (a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅)
= a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀ となります。(2) より、これは √3 + 1 です。

つまり、 (1) の両辺 に r⁵ をかけることで
r⁵ × (a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅) = r⁵ × (√3 － 1)　とすると (2) より
(√3 + 1) = r⁵ × (√3 － 1) ・・・(3) と表せます。

(3) を r⁵ について解けば
r⁵ = (√3 + 1)/(√3 － 1) です。

(√3 + 1)/(√3 － 1) の分母を有理化して整理すれば
2 + √3 です。

以上より、正解は 5 です。