2019 (R1) 年 国税専門官 情報数学 No.59 解説

　問 題　　　　　

10 進数の演算式 2¹ × 2² × 2³ × … × 2^n-1 × 2ⁿ の結果を 16 進数に変換したときに、8 桁以上となるような最小の自然数 n はいくらか。

1． 5
2． 6
3． 7
4． 8
5． 9

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

本問を解くために必要な知識は 3 つです。

１：指数法則　a^b × a^c = a^b+c
２：等差数列の和の公式 Sn = (初項 + 末項) × n/2
３：n 進数について　1 桁目 n⁰ が何個、２桁目が n¹ が何個… と読む

まず、10 進数の演算式 2¹ × 2² × … 2ⁿ
= 2^(1+2+…+n)
= 2^{n(n+1)/2} です。

次に選択肢について、具体的に考えます。

n = 5 の時
2¹⁵ = 2³ × 16³ と表せます。これは 16 進数で 8000 (16 進数) です。つまり、16 進数だと 4 桁です。 8 桁以上にはなりません。

n = 6 の時
2²¹ = 2 × 16⁵ です。これは 16 進数で 200000 (16 進数) と表せます。つまり、16 進数だと 6 桁です。 8 桁以上にはなりません。

n = 7 の時
2²⁸ = 1 × 16⁷ です。これは 16 進数で 10000000 (16 進数) です。 8 桁となったので、正解は n = 7 とわかります。

以上より、正解は 3 です。