公務員試験 2019年 国家一般職(土木) No.6解説

　問 題　　　　　

実数 x，y が (x – 1)² + (y- 2) ² ≦ 1 を満たすとき、x² + y² の最大値はいくらか。

1． 4 + 2√2
2． 10
3． 6 + 3√2
4． 6 + 2√5
5． 4 + 3√5

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

・(x – a)² + (y – b)² = r² は
『中心 (a,b)、半径 r の円』を表します。

・不等式は、ある点が不等式を満たすかどうかで平面を分割した「領域」を表します。

『(x – a)² + (y – b)² ≦ r² は、中心 (a,b)、半径 r の円の内部領域 (境界含む)』を表します。

本問は『点 (1,2) を中心として半径 1 の円が置いてある。原点中心の円を少しずつ大きくした時に、先に置いた円に少しでも触れるような条件下で、半径を最も大きくしてください。その時の半径の 2 乗を答えてください。』という問題です。

原点中心の円の半径が最大になるのは「外接」する時です。以下の図から半径は (√5 + 1) です。 2 乗すると「(√5 + 1)²」です。

(√5 + 1)²
= 5 + 1 + 2√5
= 6 + 2√5

以上より、正解は 4 です。