公務員試験 2019年 国家一般職(土木) No.4解説

　問 題　　　　　

 

 

 

 

 

　解 説　　　　　

【解法 1：置換積分】
x² – 1 = t とおきます。 x：0 → 1 の時、t：-1 → 0
辺々微分して 2xdx = 1dt、また x² = t + 1 です。

与えられた積分を t を用いて表すと

∫ (t + 1) t⁸ dt/2
= 1/2 × ∫ t⁹ + t⁸ dt
= 1/2 × [t¹⁰/10 + t⁹/9]
→ 1/2 × – (1/10 – 1/9)
= 1/180 となります。

以上より、正解は 1 です。

【解法 2：グラフの概形から推測
公務員試験全般への戦術としては、こちらがおすすめ】

y = x³ (x² – 1) ⁸ のグラフを考えます。

・x = 0 の時は 0、x = 1 の時は 0 です。


・x = 1/2 の場合を考えます。
y = (1/2)³ × (-3/4)⁸ です。
(3/4)⁴ = 81/256 だから、大体 1/3 ぐらいです。その 2 乗なので、大体 1/9 ぐらいとわかります。

すると
y ≒ 1/8 × 1/9 = 1/72 ぐらいと評価できます。

・また、x が 0 ~ 1 であれば
x² – 1 は負の数です。その 8 乗は正の数です。従って、y 座標はずっと正の数です。

(0,0),(1,0),(1/2,1/72) の３点滑らかに結んで概形を考えると、以下のように書けます。

三角形で近似して面積を考えれば 1/144 です。最も近いのは 1/180 となります。

以上より、正解は 1 です。