電験三種 R5年度下期 機械 問4 問題と解説

　問 題　　　　　

あるかご形三相誘導電動機を定格電圧でY－Δ始動したところ、始動トルクは60N・mであった。また、Δ結線での全電圧始動時(定格電圧)の始動トルクは定格運転時の240%である。

この電動機の定格運転時のトルクの値[N・m]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 20
2. 25
3. 35
4. 43
5. 75

 

 

 

 

 

　解 説　　　　

問題文によると、最初は三相誘導電動機を定格電圧でY結線にて始動させ、続いてΔ結線に切り替え、その後Δ結線のまま定格運転を行っています。ここで、説明の都合上、各パラメータを以下のように設定します。

• T_Y始：Y結線での始動トルク＝60[N・m]
• T_Δ始：Δ結線での始動トルク [N・m]
• T_Δ定：Δ結線での定格運転時のトルク [N・m]
• V_Y：Y結線での定格電圧 [V]
• V_Δ：Δ結線での定格電圧 [V]

まず、重要事項として、トルクは電圧の2乗に比例します。これはそのまま知識として押さえておいてもよいですが、トルクTと二次入力P₂との関係式から考えることもできます。

• P₂：二次入力 [W]
• ω：角速度 [rad/s]
• T：トルク [N・m]
• V：電源電圧 [V]
• Z：インピーダンス [Ω]
• N_s：同期速度 [min^-1]

上式の矢印左側は、最重要公式として押さえてください。矢印右側は、二次入力と角速度をそれぞれ変形したものですが、ZやN_sは一定なので、TはVの2乗に比例することがわかります(N_sは磁極の数と周波数から決まる値なので、今回はこれらに変更がないため、一定となります)。

よって、次の(2)式が成り立ちます。

話は変わりますが、Δ結線では、各相の相電圧は線間電圧と同じ値となります。一方でY結線では、各相の相電圧は線間電圧の1/√3倍の値となります。つまり、V_YとV_Δは次の(3)式のような関係となります。

以上から、T_Y始とT_Δ始の関係は次の(4)式で表すことができます。

ここで、(4)式に(3)式を代入すると、次の(5)式のようになります。

一方で、問題文よりT_Δ始はT_Δ定の240%ということなので、問われているT_Δ定は、(5)式を使って次のように求めることができます。

以上から、正解は(5)となります。