電験三種 R5年度下期 機械 問2 問題と解説

　問 題　　　　　

界磁に永久磁石を用いた小形直流電動機がある。この電動機の電機子に12Vの電圧を加えたところ、無負荷の状態で3000min^－1で回転した。この電圧を維持したまま負荷を与えて、2Aの電機子電流を流したところ、損失が3W発生した。

この時の回転数[min^－1]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし、ブラシの接触による電圧降下及び電機子反作用は無視できるものとし、損失は電機子巻線の銅損しか存在しないものとする。

1. 2250
2. 2625
3. 2813
4. 3000
5. 3429

 

 

 

 

 

　解 説　　　　

直流電動機は負荷がかかって電機子電流が流れると、内部の抵抗による電圧降下が発生して回転数が低下します。この設問では無負荷時の回転数が 3000 [min^-1] であるため、負荷時の回転数はそれより小さくなるはずです。

つまり、回転数が 3000 以上である選択肢(4)や(5)は誤りであると直感的に除外することができます。以下では、具体的な計算を行っていきます。

まず、問われているのは「負荷を与えたときの回転数 n 」ですが、直流電動機において、回転数は逆起電力に比例します。よって、無負荷時の回転数 n₀ [min^-1] と逆起電力 E₀ [V] 、負荷時の回転数 n [min^-1] と逆起電力 E [V] との間には、次の比例関係が成り立ちます。

\( \displaystyle \frac{n}{n_{0}} = \frac{E}{E_{0}} \)

\( \displaystyle \Leftrightarrow n = \frac{E}{E_{0}} \times n_{0} \quad \cdots(1) \)

ここで、問題文より無負荷時の回転数 n₀ = 3000 [min^-1] と与えられています。また、無負荷時には電機子電流が流れない（電圧降下が発生しない）ため、無負荷時の逆起電力 E₀ は電源電圧 V と等しくなり、E₀ = 12 [V] となります。

よって、目的である(1)式から負荷時の回転数 n を求めるためには、負荷時の逆起電力 E [V] の値を知る必要があります。

負荷時の逆起電力を求めるためには、電機子巻線の抵抗 R_a [Ω] による電圧降下を計算しなければなりません。この R_a は、問題文で与えられた損失（銅損）P_loss [W] と電機子電流 I_a [A] を用いて、次のように計算することができます。

\( \displaystyle P_{loss} = I_{a}^{2}R_{a} \)

\( \begin{aligned} \Leftrightarrow R_{a} &= \frac{P_{loss}}{I_{a}^{2}} \\[12pt] &= \frac{3}{2^{2}} \\[12pt] &= 0.75 \text{ [Ω]} \quad \cdots(2) \end{aligned} \)

(2)式で電機子巻線の抵抗 R_a が求まったので、電源電圧 V [V] から抵抗による電圧降下を引いて負荷時の逆起電力 E [V] を計算すると、次の(3)式のように表すことができます。

\( \begin{aligned} E &= V – I_{a}R_{a} \\[12pt] &= 12 – 2 \times 0.75 \\[12pt] &= 12 – 1.5 \\[12pt] &= 10.5 \text{ [V]} \quad \cdots(3) \end{aligned} \)

最後に、上記で求めたそれぞれの値を(1)式に代入すると、負荷時の回転数 n [min^-1] は次のように算出できます。

\( \begin{aligned} n &= \frac{E}{E_{0}} \times n_{0} \\[12pt] &= \frac{10.5}{12} \times 3000 \\[12pt] &= 2625 \text{ [min}^{-1}\text{]} \end{aligned} \)

以上から、正解は(2)となります。