問 題
図のように、極板間の厚さd[m]、表面積S[m2]の平行板コンデンサAとBがある。
コンデンサAの内部は、比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。
コンデンサBの内部は、比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。
コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれEA1、EA2、EA3、コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれEB1、EB2、EB3とし、端効果、初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。
また、真空の誘電率をε0[F/m]とする。両コンデンサの上側の極板に電圧V[V]の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。
次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) コンデンサAにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(b) コンデンサA全体の蓄積エネルギーは、コンデンサB全体の蓄積エネルギーの何倍か、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
- 0.72
- 0.83
- 1.00
- 1.20
- 1.38
解 説
(a)
コンデンサAは、3種類の誘電体が電圧の向きから見て縦に並んでいるため、下図のように3つのコンデンサが直列に並んでいるのと同等です。また、直列に並んだコンデンサに蓄えられる電荷Q[C]は、全て等しくなります。
また、直列に並んだコンデンサでは、どこを切っても電束密度 D [C/m2] が一定になるという性質があります。
電界の強さ E、電束密度 D、誘電率 ε の間には D ＝ εE という関係があるため、電束密度 D が一定の直列回路において、電界の強さ E は誘電率 ε に反比例することがわかります。
問題の図をみると、コンデンサAの各層の誘電率は上から順に 2ε0、3ε0、6ε0 と大きくなっています。電界の強さはこれに反比例するため、一番上の層（EA1）が最も強く、下に行くにつれて弱くなります。したがって、大小関係は以下のようになります。
\( E_{A1} > E_{A2} > E_{A3} \quad \cdots(1) \)
この時点で、選択肢は(2)と(5)に絞られます。続いて、最も強い電界 EA1 の具体的な値を計算します。
平行板コンデンサの静電容量は C ＝ εS/d で求めることができるため、各層のコンデンサの静電容量 CA1、CA2、CA3 [F] は、次のように計算できます。
\( \displaystyle C_{A1} = \frac{2\varepsilon_{0} S}{\frac{d}{6}} = \frac{12\varepsilon_{0} S}{d} \quad \cdots(2) \)
\( \displaystyle C_{A2} = \frac{3\varepsilon_{0} S}{\frac{d}{3}} = \frac{9\varepsilon_{0} S}{d} \quad \cdots(3) \)
\( \displaystyle C_{A3} = \frac{6\varepsilon_{0} S}{\frac{d}{2}} = \frac{12\varepsilon_{0} S}{d} \quad \cdots(4) \)
また、直列回路の合成静電容量 CA [F] は、各静電容量の逆数の和から求められます。
\( \begin{aligned} \frac{1}{C_{A}} &\,= \frac{1}{C_{A1}} + \frac{1}{C_{A2}} + \frac{1}{C_{A3}} \\[12pt] &\,= \frac{d}{12\varepsilon_{0} S} + \frac{d}{9\varepsilon_{0} S} + \frac{d}{12\varepsilon_{0} S} \\[12pt] &\,= \frac{d}{\varepsilon_{0} S} \left( \frac{3}{36} + \frac{4}{36} + \frac{3}{36} \right) \\[12pt] &\,= \frac{10d}{36\varepsilon_{0} S} \\[12pt] &\,= \frac{5d}{18\varepsilon_{0} S} \quad \cdots(5) \end{aligned} \)
よって、コンデンサA全体の静電容量 CA は以下のようになります。
\( \displaystyle C_{A} = \frac{18\varepsilon_{0} S}{5d} \quad \cdots(6) \)
ここで、コンデンサA全体に蓄えられる電荷 QA [C] は QA = CAV であり、直列接続では各層にも同じ電荷 QA が蓄えられます。そのため、一番上の層にかかる電圧 VA1 [V] は次のように計算できます。
\( \begin{aligned} V_{A1} &\,= \frac{Q_{A}}{C_{A1}} \\[12pt] &\,= \frac{C_{A} V}{C_{A1}} \\[12pt] &\,= \frac{\frac{18\varepsilon_{0} S}{5d} V}{\frac{12\varepsilon_{0} S}{d}} \\[12pt] &\,= \frac{18}{60} V \\[12pt] &\,= \frac{3}{10} V \quad \cdots(7) \end{aligned} \)
さらに、電界の強さ E [V/m] は電圧を極板間距離で割ったもの（E = V/d）なので、最大電界 EA1 は次のように求まります。
\( \begin{aligned} E_{A1} &\,= \frac{V_{A1}}{\frac{d}{6}} \\[12pt] &\,= \frac{\frac{3}{10} V}{\frac{d}{6}} \\[12pt] &\,= \frac{18V}{10d} \\[12pt] &\,= \frac{9V}{5d} \quad \cdots(8) \end{aligned} \)
よって、(1)式と(8)式から、正解は(4)となります。
(b)
コンデンサに蓄えられるエネルギーは、次の式で表すことができます。
\( \displaystyle
W = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} Q V \, [\text{J}] \quad \cdots (9)
\)
- W：エネルギー[J]
- C：静電容量[F]
- V：電圧[V]
- Q：電荷[C]
設問(b)ではコンデンサ A と B の蓄積エネルギーを比較しますが、電圧 V は共通であるため、静電容量 C の大きさを比較するだけで済みます。
まず、コンデンサBについて考えます。コンデンサBは3つの誘電体が横に並んでいるため、下図のように並列接続の回路と同等です。各部分の静電容量 CB1、CB2、CB3 を計算すると、次のようになります。
\( \displaystyle C_{B1} = \frac{2\varepsilon_{0} \frac{S}{6}}{d} = \frac{\varepsilon_{0} S}{3d} \quad \cdots(10) \)
\( \displaystyle C_{B2} = \frac{3\varepsilon_{0} \frac{S}{3}}{d} = \frac{\varepsilon_{0} S}{d} \quad \cdots(11) \)
\( \displaystyle C_{B3} = \frac{6\varepsilon_{0} \frac{S}{2}}{d} = \frac{3\varepsilon_{0} S}{d} \quad \cdots(12) \)
並列回路の合成静電容量 CB は、各静電容量の単純な和となるため、次の(13)式が成り立ちます。
\( \begin{aligned} C_{B} &\,= C_{B1} + C_{B2} + C_{B3} \\[12pt] &\,= \left( \frac{1}{3} + 1 + 3 \right) \frac{\varepsilon_{0} S}{d} \\[12pt] &\,= \frac{13\varepsilon_{0} S}{3d} \quad \cdots(13) \end{aligned} \)
問題で問われているのは「コンデンサAのエネルギーは、コンデンサBの何倍か」ですが、設問(b)の解説の冒頭で示したように、今回は静電容量 C の比較をすればよいので、上記の(13)式で求めた CB と設問(a)の(6)式で求めた CA から、その比は次のように算出できます。
\(
\begin{aligned}
\frac{W_{A}}{W_{B}} &\,= \frac{C_{A}}{C_{B}} \\[12pt]
&\,= \frac{\frac{18}{5}}{\frac{13}{3}} \\[12pt]
&\,= \frac{18}{5} \times \frac{3}{13} \\[12pt]
&\,= \frac{54}{65} \\[12pt]
&\,\,\, \text{≒} \; 0.831
\end{aligned}
\)
以上から、正解は(2)となります。
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