問 題
図のようなRC交流回路がある。この回路に正弦波交流電圧E[V]を加えたとき、容量性リアクタンス6Ωのコンデンサの端子間電圧の大きさは12Vであった。
このとき、E[V]と図の破線で囲んだ回路で消費される電力P[W]の値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
- E[V] P[W]
- 20 32
- 20 96
- 28 120
- 28 168
- 40 309
解 説
まずは、回路図の中央部分（ 8 Ω の抵抗と 6 Ω のコンデンサの直列部分）について考えます。
6 Ω のコンデンサの端子間電圧が 12 [V] であるため、ここを流れる電流 I1 [A] の大きさは、次に示す(1)式のように計算できます。
\begin{aligned} I_1 &= \frac{12}{6} \\[12pt] &= 2 \text{ [A]} \quad \cdots(1) \end{aligned}
(1)式より、 6 Ω のコンデンサと 8 Ω の抵抗を流れる電流は直列接続のためともに 2 [A] となるため、この 2 つの合成インピーダンス Z1 [Ω] は、次に示す(2)式となります。
\begin{aligned} Z_1 &= \sqrt{8^2 + 6^2} \\[12pt] &= \sqrt{64 + 36} \\[12pt] &= \sqrt{100} \\[12pt] &= 10 \text{ [}\Omega\text{]} \quad \cdots(2) \end{aligned}
よって、この部分の端子間電圧は、次に示す(3)式のように求められます。なお、問題の図からわかる通り、この端子間電圧は電源電圧 E [V] と同じ値です。
\begin{aligned} E &= I_1 Z_1 \\[12pt] &= 2 \times 10 \\[12pt] &= 20 \text{ [V]} \quad \cdots(3) \end{aligned}
また、消費される電力 P [W] を計算する際、無効電力であるコンデンサでは電力を消費しないため、抵抗側（有効電力）のみを考慮します。 8 [Ω] の抵抗で消費される電力 P1 [W] は、次に示す(4)式となります。
\begin{aligned} P_1 &= I_1^2 \times 8 \\[12pt] &= 2^2 \times 8 \\[12pt] &= 32 \text{ [W]} \quad \cdots(4) \end{aligned}
続いて、回路図の右側（ 4 [Ω] の抵抗と 3 [Ω] のコンデンサの直列部分）について考えます。並列回路のため、ここに加わる端子間電圧も電源電圧と同じ 20 [V] です。この部分の合成インピーダンス Z2 [Ω] は、次に示す(5)式となります。
\begin{aligned} Z_2 &= \sqrt{4^2 + 3^2} \\[12pt] &= \sqrt{16 + 9} \\[12pt] &= \sqrt{25} \\[12pt] &= 5 \text{ [}\Omega\text{]} \quad \cdots(5) \end{aligned}
よって、右側の枝路を流れる電流 I2 [A] の大きさは、次に示す(6)式となります。
\begin{aligned} I_2 &= \frac{E}{Z_2} \\[12pt] &= \frac{20}{5} \\[12pt] &= 4 \text{ [A]} \quad \cdots(6) \end{aligned}
4 Ω の抵抗で消費される電力 P2 [W] は、次に示す(7)式となります。
\begin{aligned} P_2 &= I_2^2 \times 4 \\[12pt] &= 4^2 \times 4 \\[12pt] &= 64 \text{ [W]} \quad \cdots(7) \end{aligned}
最後に、破線で囲んだ回路全体で消費される電力 P [W] は P1 と P2 の合計となるため、(4)式と(7)式から、次に示す(8)式のように計算できます。
\begin{aligned} P &= P_1 + P_2 \\[12pt] &= 32 + 64 \\[12pt] &= 96 \text{ [W]} \quad \cdots(8) \end{aligned}
以上から、 E = 20 [V] 、 P = 96 [W] となるため、正解は(2)です。
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