電験三種 R4年度上期 電力 問17 問題と解説

　問 題　　　　　

三相3線式1回線の専用配電線がある。変電所の送り出し電圧が6600V、末端にある負荷の端子電圧が6450V、力率が遅れの70%であるとき、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

ただし、電線1線当たりの抵抗は0.45Ω/km、リアクタンスは0.35Ω/km、線路のこう長は5kmとする。

(a)　この負荷に供給される電力P₁の値[kW]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 180
2. 200
3. 220
4. 240
5. 260

(b)　負荷が遅れ力率80%、P₂[kW]に変化したが線路損失は変わらなかった。P₂の値[kW]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 254
2. 274
3. 294
4. 314
5. 334

 

 

 

 

 

　解 説　　　　

(a)

まず、問題文で与えられた各数値をまとめると、下図のように表すことができます。抵抗とリアクタンスの値は [Ω/km] と [km] の掛け算で求めています。

設問(a)で問われているのは「負荷に供給される電力 P₁」です。三相交流における電力 P₁ [kW] は、受電端電圧を V_r [V] 、電流を I [A] 、力率を cosθ とすると、以下の公式で求められます。

\( \displaystyle P_{1} = \sqrt{3}V_{r}I\cos\theta \quad \cdots(1) \)

このうち、V_r ＝ 6450 [V] と cosθ ＝ 0.7 は問題文で与えられているため、P₁ を計算するには電流 I の値を知る必要があります。

上図に記載している各種の数値から電流 I を求めるには、電圧降下の近似式を使うのが有効です。送電端電圧 V_s [V] と受電端電圧 V_r [V] の差である電圧降下 V_d [V] の近似式は、以下の(2)式で表すことができます。

\( \displaystyle V_{d} = V_{s} – V_{r} ≒ \sqrt{3}I(R\cos\theta + X\sin\theta) \quad \cdots(2) \)

上式において、力率 cosθ = 0.7 より、sinθ は sinθ = \( \sqrt{1 – 0.7^{2}} \) = \( \sqrt{0.51} \) となります。これらを(2)式に代入して、電流 I [A] について解くと、次の(3)式のように計算できます。

\( \displaystyle V_{d} = V_{s} – V_{r} ≒ \sqrt{3}I(R\cos\theta + X\sin\theta)  \)

\( \displaystyle \begin{aligned} \Leftrightarrow I &= \frac{V_{s} – V_{r}}{\sqrt{3}(R\cos\theta + X\sin\theta)} \\[12pt] &= \frac{6600 – 6450}{\sqrt{3} \times (2.25 \times 0.7 + 1.75 \times \sqrt{0.51})} \\[12pt] &≒ 30.658 \text{ [A]} \quad \cdots(3) \end{aligned} \)

(3)式で電流 I [A] が求まったので、最初の(1)式に代入して電力 P₁ [kW] を計算します。

\( \begin{aligned} P_{1} &= \sqrt{3}V_{r}I\cos\theta \\[12pt] &= \sqrt{3} \times 6450 \times 30.658 \times 0.7 \\[12pt] &≒ 239719 \text{ [W]} \\[12pt] &≒ 240 \text{ [kW]} \end{aligned} \)

以上から、正解は(4)です。

(b)

設問(b)では、力率が遅れ 80 % に変化した後の新しい電力 P₂ [kW] を求めます。そのために使用する公式は、設問(a)と同じく以下のようになります。

\( \displaystyle P_{2} = \sqrt{3}V_{r2}I_{2}\cos\theta_{2} \quad \cdots(4) \)

変化後の力率 cosθ₂ は 0.8 とわかっていますが、変化後の「電流 I₂ [A] 」と「新しい受電端電圧 V_r2 [V] 」がわからないため、これらを順番に求めていきます。

まず、問題文に「線路損失は変わらなかった」とありますが、三相 3 線式における線路損失 P_loss [W] は以下の式で表されます。

\( \displaystyle P_{loss} = 3I^{2}R \quad \cdots(5) \)

この(5)式から、線路損失 P_loss と線路抵抗 R が変わらないということは、線路に流れる電流 I も変化しないことがわかります。したがって、変化後の電流 I₂ [A] は設問(a)の(3)式と同じ値になります。

\( \displaystyle I_{2} = I ≒ 30.658 \text{ [A]} \quad \cdots(6) \)

次に、力率が変化したことによる新しい受電端電圧 V_r2 [V] を求めます。

送電端電圧 V_s は 6600 [V] のままで、変化後の力率は cosθ₂ = 0.8 、sinθ₂ は sinθ₂ = \( \sqrt{1 – 0.8^{2}} \) = 0.6 となります。これを電圧降下の式（設問(a)の(2)式）に代入して、新しい電圧降下 V_d2 [V] を計算します。

\( \begin{aligned} V_{d2} &= \sqrt{3}I_{2}(R\cos\theta_{2} + X\sin\theta_{2}) \\[12pt] &= \sqrt{3} \times 30.658 \times (2.25 \times 0.8 + 1.75 \times 0.6) \\[12pt] &= \sqrt{3} \times 30.658 \times 2.85 \\[12pt] &≒ 151.3 \text{ [V]} \quad \cdots(7) \end{aligned} \)

これにより、変化後の受電端電圧 V_r2 [V] は以下の(8)式のようになります。

\( \begin{aligned} V_{r2} &= V_{s} – V_{d2} \\[12pt] &= 6600 – 151.3 \\[12pt] &= 6448.7 \text{ [V]} \quad \cdots(8) \end{aligned} \)

最後に、求めた V_r2 [V] 、I₂ [A] 、cosθ₂ を(4)式に代入して、変化後の電力 P₂ [kW] を計算すると、次のようになります。

\( \begin{aligned} P_{2} &= \sqrt{3}V_{r2}I_{2}\cos\theta_{2} \\[12pt] &= \sqrt{3} \times 6448.7 \times 30.658 \times 0.8 \\[12pt] &≒ 273877 \text{ [W]} \\[12pt] &≒ 274 \text{ [kW]} \end{aligned} \)

以上から、正解は(2)です。