電験三種 R3年 理論 問1 問題と解説

　問題　　　　　

次の文章は、平行板コンデンサに関する記述である。

図のように、同じ寸法の直方体で誘電率の異なる二つの誘電体(比誘電率ε_r1の誘電体1と比誘電率ε_r2の誘電体2)が平行板コンデンサに充填されている。

極板間は一定の電圧V[V]に保たれ、極板Aと極板Bにはそれぞれ＋Q[C]と－Q[C](Q＞0)の電荷が蓄えられている。誘電体1と誘電体2は平面で接しており、その境界面は極板に対して垂直である。ただし、端効果は無視できるものとする。

この平行板コンデンサにおいて、極板A、Bに平行な誘電体1、誘電体2の断面をそれぞれ面S₁、面S₂(面S₁と面S₂の断面積は等しい)とすると、面S₁を貫く電気力線の総数(任意の点の電気力線の密度は、その点での電界の大きさを表す)は、面S₂を貫く電気力線の総数の(　ア　)倍である。

面S₁を貫く電束の総数は面S₂を貫く電束の総数の(　イ　)倍であり、面S₁と面S₂を貫く電束の数の総和は(　ウ　)である。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

正解 (1)

　解説　　　　

まず、問題の図を回路図に描き換えると、次のようになります。

(　ア　)では電気力線の総数の比が問われていますが、問題文より「任意の点の電気力線の密度は、その点での電界の大きさを表す」(電気力線の密度＝電界)とあるので、実質的に、電界E[V/m]に板の面積A[m²]を掛けたものが、電気力線の総数となります。

ここで、電界E[V/m]は次の式で求めることができます。これは重要公式として押さえておいてください。

上図の回路図を見てもわかる通り、今回は誘電体1のほうも誘電体2のほうも、ともに極板間の電圧はV[V]、距離はd[m]で同じです。ということは、電界の強さE[V/m]で同一となります。

また、板の面積A[m²]についても双方は同じ大きさであるため、結局、電気力線の総数(＝電界×板の面積)についても、誘電体1側と誘電体2側で同じ数となります。

よって、(　ア　)では電気力線の総数の比を答えればよいので、ここには「1」が入ります。

(　イ　)では電束の総数の比が問われています。電束とは「1[C]分の電気力線のまとまり」のことなので、電束の総数の比を求めたいなら、電荷Q[C]の比を求めればよいです。

電荷Q[C]は次の式で求めることができます。

さらに、静電容量C[F]は次の式で求めることができます。

よって、これらを組み合わせると、以下のようになります。

誘電体1側、誘電体2側の電荷QをそれぞれQ₁、Q₂とすると、その比Q₁/Q₂は次のように計算することができます。

これが電束の総数の比になるので、(　イ　)には「ε_r1/ε_r2」が入ります。

(　ウ　)について、問題文や問題の図ですでに誘電体が充填された状態として、極板間にはQ[C]の電荷が蓄えられていることが名言されています。

面S₁と面S₂を貫く電束の数の総和というのは、極板間の電荷のことなので、何か計算をする必要もなくここはQ[C]となることがわかります。よって、(　ウ　)には「Q」が入ります。

以上から、(　ア　)には「1」が、(　イ　)には「ε_r1/ε_r2」が、(　ウ　)には「Q」が入るので、正解は(1)です。

電験三種 R3年理論問1 問題と解説