問 題
図のように、真空中に点P、点A、点Bが直線上に配置されている。点PはQ[C]の点電荷を置いた点とし、A-B間に生じる電位差の絶対値を|VAB|[V]とする。
次の(a)～(d)の四つの実験を個別に行ったとき、|VAB|[V]の値が最小となるものと最大となるものの実験の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
[実験内容]
- (a) P-A間の距離を2m、A-B間の距離を1mとした。
- (b) P-A間の距離を1m、A-B間の距離を2mとした。
- (c) P-A間の距離を0.5m、A-B間の距離を1mとした。
- (d) P-A間の距離を1m、A-B間の距離を0.5mとした。
- (a)と(b)
- (a)と(c)
- (a)と(d)
- (b)と(c)
- (c)と(d)
解 説
点電荷の作る電位は以下の式で表すことができます。これは最重要事項として押さえておきたい公式です。
\begin{aligned} V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} \text{ [V]} \quad \cdots(1) \end{aligned}
- V：電位 [V]
- ε0：真空の誘電率 [F/m]
- Q：電荷 [C]
- r：点電荷からの距離 [m]
この問題で求めたいのは A-B 間に生じる電位差の絶対値 |VAB| ですが、これは直接計算することができないので、上記の公式を使って VA と VB を求め、その差の絶対値をとることで |VAB| を計算します。
たとえば条件(a)の場合の VA と VB をそれぞれ VA(a)、VB(a) と表すと、これらは以下のように計算することができます。ちなみに、P-A 間の距離は問題文に与えられた通りで、P-B 間の距離は P-A 間の距離と A-B 間の距離の和です。
\begin{aligned} V_{A(a)} &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{2} \quad \cdots(2) \\[12pt] V_{B(a)} &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{2 + 1} \\[12pt] &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{3} \quad \cdots(3) \end{aligned}
よって、|VAB(a)| は次のようになります。
\begin{aligned} |V_{AB(a)}| &= |V_{A(a)} – V_{B(a)}| \\[12pt] &= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left| \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right| \\[12pt] &= \frac{1}{6} \cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \\[12pt] &≒ 0.17 \cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \quad \cdots(4) \end{aligned}
条件(b)、(c)、(d)についても同様に計算を進めると、次のようになります。
\begin{aligned} |V_{AB(b)}| &= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left| \frac{1}{1} – \frac{1}{1 + 2} \right| \\[12pt] &= \frac{2}{3} \cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \\[12pt] &≒ 0.67 \cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \quad \cdots(5) \\[12pt] |V_{AB(c)}| &= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left| \frac{1}{0.5} – \frac{1}{0.5 + 1} \right| \\[12pt] &= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left| 2 – \frac{2}{3} \right| \\[12pt] &= \frac{4}{3} \cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \\[12pt] &≒ 1.33 \cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \quad \cdots(7) \\[12pt] |V_{AB(d)}| &= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left| \frac{1}{1} – \frac{1}{1 + 0.5} \right| \\[12pt] &= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left| 1 – \frac{2}{3} \right| \\[12pt] &= \frac{1}{3} \cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \\[12pt] &≒ 0.33 \cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \quad \cdots(7) \end{aligned}
以上から、条件(a)、(b)、(c)、(d)の計算結果の共通項を除いた部分の数値は、それぞれ約 0.17、0.67、1.33、0.33 になることがわかるので、最小は(a)、最大は(c)と判断できます。
よって、正解は(2)となります。
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