問 題
図のように、内部抵抗r=0.1Ω、起電力E=9Vの電池4個を並列に接続した電源に抵抗R=0.5Ωの負荷を接続した回路がある。この回路において、抵抗R=0.5Ωで消費される電力の値[W]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
- 50
- 147
- 253
- 820
- 4050
解 説
この問題の回路は複雑ですが、求めたいのは抵抗 R で消費される電力の値なので、 R を流れる電流 I の大きさを求めればよいということになります。
このように、複雑な回路における「ある 1 つの抵抗」での電流または電圧だけを知りたいのであれば、「鳳・テブナンの定理」を用いるのが有効です。
鳳・テブナンの定理を用いれば、どんなに複雑な回路でも、ターゲットとしている抵抗以外の部分を 1 つの等価抵抗 r’ と 1 つの等価電源 V’ に置き換えることができます。
よって、等価回路における V’ と r’ を求めることが当面の目的となります。
鳳・テブナンの定理を使うにあたっては、まず初めに、目的の抵抗（今回は抵抗 R ）の両端を開放（断線）させて、これを含まない側の回路について考えます。
開放させた両端の端子間電圧が求めたい V’ に相当します。この回路において、外部へ電流が流れ出ないため、各内部抵抗 r に流れる電流は 0 となり、 V’ = E = 9 [V] となります。
もし断線によって r に電流が流れなくなるということが感覚的に納得できない場合は、 r に流れる電流を I’ として考えてみてください。 4 つの r は等価な環境にあるため、 1 つの r に流れる電流が I’ であれば、他の r に流れる電流の大きさも向きも一緒のはずです。しかし、それでは 4 つの r の合流地点に流れる電流は 4I’ になるはずですが、その先は断線しているため電流が流れる余地はありません。よって、 4I’ = 0 ⇔ I’ = 0 となり、結局、 r の両端の電圧降下は 0 なので、 V’ = E = 9 [V] となります。
続いて等価内部抵抗 r’ を求めます。 r’ を求めるには、電源となる部分（今回は 4 つの起電力 E ）を全て短絡させて、開放端子から見た合成抵抗を計算します。
この問題では 4 つの等価な抵抗 r が並列に並ぶため、その合成抵抗 r’ は次に示す(1)式となります。
\begin{aligned}
& \frac{1}{r’} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{4}{r} \\[12pt]
& \Leftrightarrow r’ = \frac{r}{4} = \frac{0.1}{4} = 0.025 \text{ [}\Omega\text{]} \quad \cdots(1)
\end{aligned}
以上から、鳳・テブナンの定理を適用したあとの回路に負荷抵抗 R を接続すると、 R を流れる電流 I は次に示す(2)式となります。
\begin{aligned} I &= \frac{V’}{r’ + R} \\[12pt] &= \frac{9}{0.025 + 0.5} \\[12pt] &= \frac{9}{0.525} \\[12pt] &≒ 17.14 \text{ [A]} \quad \cdots(2) \end{aligned}
よって、抵抗 R で消費される電力 P は、次に示す(3)式のように計算することができます。
\begin{aligned} P &= I^2 R \\[12pt] &= \left( \frac{9}{0.525} \right)^2 \times 0.5 \\[12pt] &= \frac{81}{0.275625} \times 0.5 \\[12pt] &≒ 147 \text{ [W]} \quad \cdots(3) \end{aligned}
以上から、正解は(2)となります。
コメント