電験三種 H27年 機械 問17 問題と解説

　問 題　　　　　

図に示すように、フィードバック接続を含んだブロック線図がある。このブロック線図において、T=0.2s、K=10としたとき、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

ただし、ωは角周波数[rad/s]を表す。

(a)　入力をR(jω)、出力をC(jω)とする全体の周波数伝達関数W(jω)として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(b)　次のボード線図には、正確なゲイン特性を実線で、その折線近似ゲイン特性を破線で示し、横軸には特に折れ点角周波数の数値を示している。上記(a)の周波数伝達関数W(jω)のボード線図のゲイン特性として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし、横軸は角周波数ωの対数軸であり、-20[dB/dec]とは、ωが10倍大きくなるに従って｜W(jω)｜が-20dB変化する傾きを表している。

 

 

 

 

 

　解 説　　　　

(a)

問われているのは、全体の周波数伝達関数 W(jω) です。このような複数のブロックを合わせた伝達関数を求める問題では、内側にある小さな集まりから順番に計算して、徐々に外側のブロックをまとめていくのが定石です。

つまり、今回の場合は先にフィードバック接続の部分を考え、次に直列につながった K の部分を合わせます。

まず、フィードバックのブロック線図を結合すると以下のような式になります。結合前と結合後ではプラス・マイナスが入れ替わる点に注意してください。これは数あるブロック線図の結合の中で最も重要なので、ぜひ覚えておいてください。

今回の問題にこれを適用すると、G₁ = 1 / jωT で、G₂ の位置にはブロックが何もないので、 G₂ = 1 となります。よって、フィードバック接続の部分の伝達関数 W₁(jω) は、次のように表すことができます。

\( \displaystyle \begin{aligned} W_1(j\omega) &= \frac{\frac{1}{j\omega T}}{1 + \frac{1}{j\omega T} \times 1} \\[12pt] &= \frac{\frac{1}{j\omega T}}{\frac{j\omega T + 1}{j\omega T}} \\[12pt] &= \frac{1}{1 + j\omega T} \quad \cdots(1) \end{aligned} \)

また、ブロックが直列に並んでいるときには、以下の図のように積でまとめることができます。

ここで、先ほど求めた W₁(jω) と K は直列に並んでいて、それらを合わせたものが全体の周波数伝達関数 W(jω) となるので、問題文にある T ＝ 0.2 [s]、 K ＝ 10 を代入すると、次のように計算することができます。

\( \displaystyle \begin{aligned} W(j\omega) &= W_1(j\omega) \times K \\[12pt] &= \frac{1}{1 + j\omega T} \times 10 \\[12pt] &= \frac{10}{1 + j0.2\omega} \end{aligned} \)

以上より、正解は(1)となります。

(b)

問われているのは、設問(a)で求めた伝達関数 W(jω) のゲイン特性を表すグラフです。

ここでまず確認しておきたいのは、ゲイン g [dB] は、伝達関数の大きさ（絶対値） |W(jω)| を用いて以下の式で表されるということです。これは重要事項として押さえておいてください。

\( \displaystyle g = 20 \log_{10} |W(j\omega)| \quad \cdots(2) \)

よって、(2)式に設問(a)での計算結果を代入すると、次の(3)式のようになります。

\( \displaystyle \begin{aligned}
g &= 20 \log \left| \frac{10}{1 + j0.2\omega} \right| \\[12pt]
&= 20 \log \left( \frac{10}{\sqrt{1^2 + (0.2\omega)^2}} \right) \\[12pt]
&= 20 \log \left( \frac{10}{\sqrt{1 + 0.04\omega^2}} \right) [dB] \quad \cdots (3)
\end{aligned} \)

この(3)式をグラフ化した選択肢が正解となります。

ここで、試しにω=0を代入してみると、次のようになります。

\( \displaystyle \begin{aligned}
g_{0} &= 20 \log \left( \frac{10}{\sqrt{1 + 0}} \right) \\[12pt]
&= 20 \quad \cdots (3) \end{aligned} \)

よって、この時点で正解の選択肢は(1)か(2)に限られます。(1)と(2)の違いは、真ん中あたりの変曲点が ω ＝ 5 か、 ω = 0.2 かですが、折れ点角周波数 ω は次の(4)式のように計算できます。

\( \displaystyle \begin{aligned}
\omega &= \frac{1}{T} \\[12pt]
&= \frac{1}{0.2} \\[12pt]
&= 5 \ [rad/s] \quad \cdots (4)
\end{aligned} \)

以上から、正解は(1)となります。

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ちなみに、もし折れ点角周波数ωの式が思い出せなくても、上記で求めたゲイン g の式に ω = 5 や ω = 0.2 を代入して得られる結果と、選択肢のグラフとを照らし合わせれば、正解を選ぶことはできます。

以下では ω = 5 と ω = 0.2 の両方を試していますが、実際にはどちらか一方で充分です。

\( \displaystyle \begin{aligned}
g_{5} &= 20 \log \left( \frac{10}{\sqrt{2}} \right) \\[12pt]
&= 20 \left( \log 10 + \log 2^{-\frac{1}{2}} \right) \\[12pt]
&= 20 \left( 1 – \frac{1}{2} \times 0.30 \right) \quad (∵ \log 2 = 0.30) \\[12pt]
&= 17
\end{aligned} \)

\( \displaystyle \begin{aligned}
g_{0.2} &= 20 \log \left( \frac{10}{\sqrt{1.0016}} \right) \\[12pt]
&≒ 20 \log \left( \frac{10}{\sqrt{1}} \right) \\[12pt]
&= 20
\end{aligned} \)

以上から、(1)と(2)とでは、(1)のグラフのほうが正しいと判断することが可能です。