0 < a < b のとき、2a、a + 2b、a – b の大小関係として正しいのはどれか。

1．2a < a + 2b < a – b
2．2a < a – b < a + 2b
3．a + 2b < a – b < 2a
4．a – b < 2a < a + 2b
5．a – b < a + 2b < 2a

　解 説　　　　　

「具体的な数で考える」のがおすすめです。

「具体的な数」として、a = 1、b = 2 とします。すると 2a = 2、a + 2b = 5、a – b = -1 です。この大小関係に注目すれば、a – b < 2a < a + 2b です。

以上より、正解は 4 です。

2 次方程式 x² – 2ax + 4 = 0 が、ただ一つの実数解（重解）をもつような正の定数 a はいくらか。

1． 1
2． 2
3． 3
4． 4
5． 5

　解 説　　　　　

「ただ一つの実数解（重解）を持つ」とは、y = x² – 2ax + 4 ・・・ (1) のグラフと y = 0 のグラフの交点が  ただ一つあるということです。

y = 0 とは x 軸に他なりません。すると、(1) のグラフの頂点の y 座標が 0 であれば、交点がただ一つとなります（類題 H28no1 2 次方程式が２つの実数解を持つ条件）。

二次関数の頂点の軸は y = ax² + bx + c において、x = ーb/2a です。これは基礎知識です。（平方完成で求めても OK です）

y = x² – 2ax + 4 の頂点の x 座標は、軸の公式より ー（-2a/2） = a です。（これは y = (x-a)² -a² +4 と変形して見つけてもかまいません）

頂点の x 座標である「x = a」を（１）に代入すれば、y = 4 – a² です。y = 0 となるのは、0 = 4 – a² となる場合です。方程式を解けば a = ± 2 の時です。問題文より「a は正の定数」なので、a = 2 と決まります。

以上より、正解は 2 です。

図のような ∠A = 30°、∠B = 105°、∠C = 45°、AB = 8 の三角形 ABC において、外接円の半径はいくらか。

　解 説　　　　　

三角形の外接円の半径 R に関して、三角形の各辺を a,b,c とおき、辺と向かい合う角を A,B,C とおけば「a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R」です。これが基礎知識です。

本問では、∠C と向かい合う辺の長さ８に注目すれば、8/sin45° = 2R が成り立ちます。sin 45° = √2/2 なので、以下のように計算して、R = 4√2 です。

以上より、正解は 3 です。

【別解：選択肢の活用（２択までは絞れる）】

「a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R」を知らなかったり忘れても、１つでも選択肢を絞れるようにぜひ考えてみましょう。

まず、図を見ると、外接円の半径は「AB の長さ８よりは小さい」と判断できるのではないでしょうか。選択肢 5 は「６√２」とあるのですが、√2 が 大体 1.4 なので、6 √2 は 8.4 ぐらいの数です。すると８を超えているので、選択肢 5 は明らかに誤りです。

さらに、三角形で 105 °、30° が出てきたら「105° を 60° と 45° に分けてみる」のはよくある手法です。以下のように点 B から AC に向け 補助線を引きます。

すると、⊿ ADB に注目すれば、30,60,90° の直角三角形になるため、辺の比が 1:2:√3 です。これにより BD = 4、AD = 4 √3 とわかります。

BD は円の半径より少し短い印象を受けるのではないでしょうか。また、AD は円の半径より少し長そうに見えると思われます。従って、求める円の半径は 4 ~ 4 √3 の間です。選択肢 1,2 は誤りです。これで選択肢 3 or 4 まで絞れました。

正解が１つに決めれるわけではないのですが、すぱっと解けなくても、１つでも選択肢を消すことができないか、ぜひ考えてみてください！

図のように、AB = 7、BC = 6、CA = 5 の三角形 ABC において、∠BAC の二等分線と辺 BC との交点を P とすると、線分 BP の長さはいくらか。

　解 説　　　　　

角の二等分線と辺の比に関して、以下のような関係があります。一般的には「AB : AC = BD : DC」までが基礎知識です。本問で求めるのが 下図の BD に対応する部分なので、BD = … という形まで出しています。

従って、BP = 7/ (7 + 5) × 6 = 7/2 です。

以上より、正解は 3 です。

極限値

はいくらか。

　解 説　　　　　

x = 3 を代入してみると 分子、分母共に 0 です。0/0 型の極限は「分母を約分してから値を代入」です。

分子の 「x² – 9」 = (x – 3)(x + 3) と書き換えることができます。x – 3 は約分できます。残った x + 3 に、x = 3 を代入すれば、値は「6」です。

以上より、正解は 5 です。

【別解】
「分母・分子をそれぞれ微分してから値を代入しても、そのまま値を代入した値と同じになる」という「ロピタルの定理」があります。便利なので余裕があればぜひ覚えておきましょう。ただし、証明なしで記述問題では、原則使ってはいけない　という点に注意してください。

分母の微分 （x – 3) ‘ = 1
分子の微分　(x² – 9) ‘ = 2x なので
x = 3 を代入すれば「6/1 = 6」

以上より、正解は 5 です。

類題 H27no5 0/0 型の極限　

図のように、関数 y = ax³ + 6x² が、x = 1 で極大値をとるとき、定数 a はいくらか。

1． -4
2． -2
3． -1
4． 2
5． 4

　解 説　　　　　

【グラフに注目して a の符号決定】
図において、x < 0 の時、左に行くほどどんどん上に上がっています。これは例えば x = -100 の時に大きな正の値をとる、ということです。すると a の符号は明らかにマイナスです。このため、選択肢 4,5 は誤りです。微分について忘れていても、この検討はぜひ行えるようにしましょう！

【極値、極大値とは】
「極値」とは 「f ’ (x) が、その前後で符号が変わるような点における f (x) の値」です（参考　H28no6）。f ‘ (x) の符号が「＋」から「ー」に変わる場合、極大値といいます。これは基礎知識です。

【定数 a を求める】
y ‘ = f ‘ (x) = 3ax² + 12x・・・（１） です。「x = 1 で極大値をとる」のであれば、f ‘ (x) は x = 1 の前後で符号が変わります。そのため f ‘ (1) = 0 です。「極値を x = a でとる → f ‘ (a) = 0」という知識で処理しても OK です。 

x = 1 を（１）に代入すると
f ‘ (1) = 3a + 12 
3a + 12 = ０を解けば、a = – 4 です。

以上より、正解は 1 です。

図のように、xy 平面上において曲線 y = x² – 2x と x 軸で囲まれた領域の面積はいくらか。

　解 説　　　　　

【面積の概算】
明らかに斜線部は面積 1 の三角形より 大きい面積と概算できます。さらにはみ出す部分について 1 より小さいです。以上から、面積 １ ~ ２  と当たりをつけることができます。すると正解は 4 です。

以上より、正解は 4 です。

【定積分による面積計算】
斜線部は x = 0 ~ 2 において、上端は y = 0 、下端は y = x² – 2x に挟まれた部分です。このような部分の面積は  ∫ （上ー下）の 定積分で計算することができます。

以上より、正解は 4 です。
類題 H30 no7 

定積分の差

はいくらか。

1． -21
2． -8
3． 0
4． 8
5． 21

　解 説　　　　　

【不定積分 ∫ x⁵ の計算】
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) が基本公式です（参考 2019 no7）。∫ x⁵ = x⁶/6 となります。

【定積分 [x⁶/6] の計算】
各項を計算してもよいのですが「小さい数字部分が 反転しているだけ」である点に注目すると少し計算が楽になります。

F(x) = x⁶/6 とおきます。以下のように積分した後を考えると、２×（F(2) ー F(1)）を計算すればよいとわかります。

F(2) = 2⁶/6 = 64/6
F(1) = 1/6 

∴ 2 × ( F(2) ー F(1) ) = 2 × 63/6 = 21　です。

以上より、正解は 5 です。

赤玉 4 個と白玉 2 個の計 6 個が入っている袋から、同時に 2 個の玉を無作為に取り出すとき、少なくとも 1 個は白玉である確率はいくらか。

　解 説　　　　　

確率の定義は「該当する通り/全ての通り」です。これは基礎知識です。（参考　高卒基礎 H30 no15 合計 10 個の玉から同時に 3 個取り出す問題）。

本問において全ての通りは「玉 6 個から 2 個取り出した通り」です。 ₆C₂ と表せます。該当する通りは「赤２個」の通りを「全ての通りから引く」ことで求めることができます。「赤２個」の通りは ₄C₂ と表せます。従って、求める確率は以下のように表されます。

・₆C₂ = 6!/2!4! = 6×5/2×1 = 15
・₄C₂ = 4!/2!2! = 4×3/2×1 = 6 です。

代入して計算すると
(15-6)/15 = 9/15 = 3/5 です。

以上より、正解は 5 です。

log₂8、2、log₂√2 の大小関係として正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

【指数・対数の基礎知識】
まず、指数が、数字の肩に乗ってる小さな数です。2³ の「３」が指数の例です。そして対数は、指数部分の別表現です。「log _底 真数」という表現をします。

先程の 2³ の 指数部分である「3」 を、対数表現すると log₂8 です。底は「もともとなんていう数字に乗っかってたか」です。２の肩にのっかってたんだから 底が 2 です。真数は「結局全体として、数がいくつか」です。2³ = 8 だから、真数が８です。

【log₂8、2、log₂√2 の大小関係】
log₂8 = 3、2 → log₂4、√2 = 2^1/2 なので、log₂√2 = 1/2 となります。つまり本問は 3,2,1/2 の大小関係を聞かれています。3 > 2 > 1/2 です。選択肢と対応をさせれば、log₂√2 < 2 < log₂8 となります。

以上より、正解は 5 です。