電験三種 R6年度上期 機械 問18 問題と解説

　問 題　　　　　

数の表現法について、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　10進法で表される正の整数Nは、10進法の2以上の整数rを用いて、次式のように表すことができる。

N＝anrn＋an－1rn－1＋…＋a1r＋a0

ただし、aiは整数であり、0≦ai＜r(i＝0,1,…,n)である。

このとき、Nをr進法で次のように表現することとする。

(anan－1…a2a1a0)r

この表現方法によって次の計算が成り立つとき、rの値として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(122)r－(42)r＝(40)r

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
  5. 9

(b)　8ビットの固定長で、正負のある2進法の数値を表現する場合、次のような①及び②で示す方式がある。また、D－Aコンバータにおいては次の③で示す方式が用いられる。

①　最上位ビット(左端のビット、以下MSBという)を符号ビットとして、残りのビットでその数の絶対値を表す方式は、絶対値表示方式と呼ばれる。

この場合、MSB＝0が正(＋)、MSB＝1が負(－)と約束すると、10進数の－8は(　ア　)となる。

②　7ビット長で表された正の数nに対して、－nを8ビット長のnの2の補数で表す方式がある。この方式による場合、10進数の－8は(　イ　)となる。

この方式においても、MSB＝1は負の整数、MSB＝0は正の整数を示すことになる。この方式は、2進数の減算に適している。

③　D－Aコンバータでは、ディジタル入力量とアナログ出力量が比例の関係にある。

8ビットのD－Aコンバータではディジタル入力量として、(1000 0000)2を与えた場合に、0.0000Vが出力されるようにしたオフセット・バイナリ・コードを用いることが多い。

この場合、出力電圧が正のときは、MSB＝1となり、負のときは、MSB＝0となる。

ディジタル入力値が(0000 0000)2のときのアナログ出力値が－5.0000Vであるオフセット・バイナリ・コードのD－Aコンバータでは、ディジタル入力値が(0111 1000)2のときの出力電圧値は(　ウ　)Vとなる。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

  • 　　(ア)　　　　　　　(イ)　　　　　　(ウ)
  1. (1000 1000)2　　(1000 0111)2　　－0.2734
  2. (1111 1000)2　　(1000 1000)2　　－0.3125
  3. (1111 1000)2　　(1000 0111)2　　－0.3125
  4. (1000 1000)2　　(1111 1000)2　　－0.3125
  5. (1000 1000)2　　(1111 1000)2　　－0.2734

 

 

 

 

 

正解 (a)-(2), (b)-(4)

　解 説 (a)　　　

問題文ではr進法での表現が次の(1)式、(2)式のように与えられています。そして、本問はこの条件のもとで(3)式が成立するrの値を求めるというものです。

ここで、(3)式の各項の値を(1)式、(2)式を使って10進数に直すと、以下の(4)～(6)式のように表すことができます。

よって、(4)～(6)式を(3)式に代入してrについて解くと、次の(7)式のようにrを算出できます。

最後に、問題文より「2以上の整数r」とあることから、(7)式の結果のうち正しいのはr＝6であると判断することができます。

以上から、正解は(2)となります。

　解 説 (b)　　　

①の絶対値表示方式では、問題文にも記載がある通り、最上位ビット(左端のビット、MSB)を符号ビットとして、残り7ビットで絶対値を表します。

今回は10進数の「－8」を2進法にしたいのですが、「MSB＝0が正(＋)、MSB＝1が負(－)」とのことなので、まずMSB＝1です。そして、残りの7ビットで絶対値8を表すと「(8)10＝(000 1000)2」となります。よって、これらを合わせると「(－8)10＝(1000 1000)2」となります。

よって、(　ア　)には「(1000 1000)2」が入ります。

②の2の補数で表す方式では、負の数値を次の3ステップによって2進法で表現します。

  1. ある数(負の数)の絶対値(正の数)を2進数で表します
  2. 2の補数を求めるため、各ビットを反転します
  3. そこに1を加えたものが、表現したい負の数値です

今回の場合、10進数の－8を2進数にしたいので、まずは＋8を8ビットの2進数で表します。次に各ビットを反転させ、最後に＋1します。すると、次のように表すことができます。

  1. (8)10＝(0000 1000)2
  2. (1111 0111)2
  3. (－8)10＝(1111 1000)2

よって、(　イ　)には「(1111 1000)2」が入ります。

③の8ビットD－Aコンバータについて、オフセット・バイナリ・コードでは、次の2つが成り立つように設定されています。これは知識として知らなくても、問題文から読み取ることができます。

  • 入力「(1000 0000)2」(10進数でいう128)が0.0000[V]に対応
  • 入力「(0000 0000)2」(10進数でいう0)が－5.0000[V]に対応

つまり、電圧の変化量5[V]を128段階に分けて表現できるということです。1段階の電圧は大きさは、5÷128＝0.0390625[V]に相当します。

ここで、今回はディジタル入力値が「(0111 1000)2」なので、これを10進数で表すと次のようになります。

そして上記の通り、入力「(0000 0000)2=(0)10」が－5.0000[V]に対応し、数字が上がっていくたびに0.0390625[V]ずつ増え、最終的に「(1000 0000)2=(128)10」で0.0000[V]となります。

今回は入力値が「(0111 1000)2＝(120)10」なので、出力電圧値は次のように計算できます。

よって、(　ウ　)には「－0.3125」が入ります。

以上から、

  • ア：(1000 1000)2
  • イ：(1111 1000)2
  • ウ：－0.3125

となるので、正解は(4)です。

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