電験三種 R3年 機械 問17 問題と解説

　問 題　　　　　

熱の伝わり方について、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　(　ア　)は、熱媒体を必要とせず、真空中でも熱を伝達する。高温側で温度T₂[K]の面S₂[m²]と、低温側で温度T₁[K]の面S₁[m²]が向かい合う場合の熱流Φ[W]は、S₂F₂₁σ((　イ　))で与えられる。

ただし、F₂₁は、(　ウ　)である。また、σ[W/(m²・K⁴)]は、(　エ　)定数である。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

• 　ア　　　　イ　　　　　ウ　　　　　　　　エ

1. 熱伝導　　T₂²－T₁²　　形状係数　　プランク
2. 熱放射　　T₂²－T₁²　　形態係数　　ステファン・ボルツマン
3. 熱放射　　T₂⁴－T₁⁴　　形態係数　　ステファン・ボルツマン
4. 熱伝導　　T₂⁴－T₁⁴　　形状係数　　プランク
5. 熱伝導　　T₂⁴－T₁⁴　　形状係数　　ステファン・ボルツマン

(b)　下面温度が350K、上面温度が270Kに保たれている直径1m、高さ0.1mの円柱がある。伝導によって円柱の高さ方向に流れる熱流Φの値[W]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし、円柱の熱伝導率は0.26W/(m・K)とする。また、円柱側面からのその他の熱の伝達及び損失はないものとする。

1. 3
2. 39
3. 163
4. 653
5. 2420

 

 

 

 

 

　解 説　　　　

(a)

本問は、熱の伝わり方(伝熱)の3つのパターン「伝導、対流、放射」のうち「放射」の出題です。伝導は固体の中での熱の移動、対流は流体(液体や気体)の流れを伴う熱の移動であるのに対し、放射は電磁波による熱の移動で、熱媒体を必要とせず真空中でも熱を伝達します。

よって、(　ア　)には「熱放射」が入ります。

熱放射のエネルギーは、温度の4乗に比例します。これは知識として押さえておきたい重要事項です。

今回のように2つの面が向かい合う場合には、そのエネルギー差が熱流Φ[W]となるので、(　イ　)には「T₂⁴－T₁⁴」が入ります。

温度の高いほうから低いほうへと流れますが、そのエネルギー(熱流Φ[W])は温度の4乗に比例します。

(　ウ　)はややマイナーな知識ですが、これがわからなくてもほかの3つが正しく答えられれば選択肢は1つに絞られるので、そこまで気にしなくてもいいと思います。

この式において、F₂₁は面S₁、面S₂の大きさ、形状、相対位置などの幾何学的な関係で決まる値であり、これを形態係数といいます。よって、(　ウ　)は「形態係数」となります。

(　エ　)に関して、熱流は温度の4乗の差に比例するというこの式で用いられる比例定数σは、ステファン・ボルツマン定数です。これはときどき出題される知識なので、ぜひ押さえておきたいところです。よって、(　エ　)は「ステファン・ボルツマン」となります。

ちなみに、選択肢にあるプランク定数は、放射エネルギーは振動数に比例する、という法則の比例定数です。

• E：光子のエネルギー[J]
• h：プランク定数[J/s]
• v：振動数[Hz]=[s^-1]

以上から、(　ア　)は「熱放射」、(　イ　)は「T₂⁴－T₁⁴」、(　ウ　)は「形態係数」、(　エ　)は「ステファン・ボルツマン」となるので、正解は(3)です。

(b)

熱流Φの式は一見すると問題文で与えられているように思えますが、F₂₁やσの値が不明なので、計算を進めることができません。よって、ここでは別のアプローチが必要となります。

(b)の設問で与えられている条件を図に示すと、以下のようになります。

上図を見てもわかるように、円柱が太い(面の面積が大きい)ほど熱が流れやすくなるので、熱流は大きくなります。また、円柱が長いほど熱は流れにくくなるので、熱流は小さくなります。さらに、上面と下面の温度差が大きければ熱は流れやすく、温度差が小さければ熱が流れにくいということもイメージしやすいと思います。

よって、熱流は「面の面積」と「上面と下面の温度差」に比例し、「距離」に反比例します。

単位に注意にしつつ、以上のことを式にすると、以下のように計算できます。

以上から、正解は(3)です。