問 題
図のように直列に接続された二つの平行平板コンデンサに120Vの電圧が加わっている。コンデンサC1の金属板間は真空であり、コンデンサC2の金属板間には比誘電率εrの誘電体が挿入されている。
コンデンサC1、C2の金属板間の距離は等しく、C1の金属板の面積はC2の2倍である。このとき、コンデンサC1の両端の電圧が80Vであった。
次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。
(a) コンデンサC2の誘電体の比誘電率εrの値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
(b) C1の静電容量が30μFのとき、C1とC2の合成容量の値[μF]として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
- 10
- 20
- 30
- 40
- 50
解 説
(a)
問題文で与えられた情報を問題の図に書き込むと、下図のようになります。なお、直列に並んだコンデンサに蓄えられる電荷Q[C]は等しくなります。また、ここではC2の金属板の面積をS[m2]としています。
ここで、問われているのは比誘電率εrの値なので、(1)式に示す公式を使う必要があります。
- C:静電容量 [F]
- εr:比誘電率
- ε0:真空の誘電率 [F/m]
- S:板の面積 [m2]
- d:板間距離 [m]
上式において、コンデンサC1とC2で与えられた情報を代入すると、次のようになります。なお、誘電体が挿入されていないコンデンサC1ではεrは無視できます(εr=1)。
(2)式と(3)式を比べるとわかるように、静電容量C1とC2の比がわかれば、コンデンサC2のεrを求めることができそうです。
ここで、先に解説した通り、直列に並んだコンデンサに蓄えられる電荷Q[C]は等しくなるので、Q=CV[C]の公式を使うと、次に示すように静電容量C1、C2の比からεrを算出することができます。
よって、正解は(4)となります。
(b)
問われているのはC1とC2の合成容量の値です。複数のコンデンサが直列に並んでいるとき、合成静電容量の逆数は、各々の静電容量の逆数の和と一致します。よって、合成静電容量Cは次のように表されます。
C1の値はすでに30[μF]を与えられているので、C2の値を求めて(5)式に代入すれば答えとなるCの値が得られます。
ここで、(4)式の最初の行で示した通り、Q=C1V1=C2V2が成り立つので、そこから次のようにしてC2を求めることができます。
よって、(6)式を(5)式に代入すれば、合成容量Cを算出できます。
以上から、正解は(2)です。
コメント