電験三種 R2年 理論 問16 問題と解説

　問 題　　　　　

最大目盛150V、内部抵抗18kΩの直流電圧計V₁と最大目盛300V、内部抵抗30kΩの直流電圧計V₂の二つの直流電圧計がある。ただし、二つの直流電圧計は直動式指示電気計器を使用し、固有誤差はないものとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　二つの直流電圧計を直列に接続して使用したとき、測定できる電圧の最大の値[V]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 150
2. 225
3. 300
4. 400
5. 450

(b)　次に、直流電圧450Vの電圧を測定するために、二つの直流電圧計の指示を最大目盛にして測定したい。

そのためには、直流電圧計(　ア　)に、抵抗(　イ　)kΩを(　ウ　)に接続し、これに直流電圧計(　エ　)を直列に接続する。このように接続して測定することで、各直流電圧計の指示を最大目盛にして測定をすることができる。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

• ア　　イ　　  ウ　　   エ

1. V₁　　90　　直列　　V₂
2. V₁　　90　　並列　　V₂
3. V₂　　90　　並列　　V₁
4. V₁　　18　　並列　　V₂
5. V₂　　18　　直列　　V₁

 

 

 

 

 

　解 説　　　　

(a)

　解 説 (a)　　　

直流電圧計 V₁（最大目盛 V_1max = 150 [V]、内部抵抗 R₁ = 18 [kΩ]）に通すことのできる最大電流 I_1max [mA] は、オームの法則より次式となります。ちなみに、抵抗の単位が [kΩ] なので、電流の単位は [mA] としています。

\( \displaystyle I_{\mathrm{1max}} = \frac{V_{\mathrm{1max}}}{R_1} = \frac{150}{18} = 8.33 \text{ [mA]} \quad \cdots(1) \)

同様に、直流電圧計 V₂（最大目盛 V_2max = 300 [V]、内部抵抗 R₂ = 30 [kΩ]）に通すことのできる最大電流 I_2max [mA] は次式となります。

\( \displaystyle I_{\mathrm{2max}} = \frac{V_{\mathrm{2max}}}{R_2} = \frac{300}{30} = 10 \text{ [mA]} \quad \cdots(2) \)

二つの電圧計を直列に接続した場合、回路全体を流れる電流は共通となります。どちらか一方でも最大電流を超えると計器を破損してしまうため、回路全体に流すことのできる電流の上限は、値の小さい I_1max = 8.33 [mA] に制限されます。

また、直列に接続した全体の合成抵抗 R_total [kΩ] は次式となります。

\( \displaystyle R_{\mathrm{total}} = R_1 + R_2 = 18 + 30 = 48 \text{ [kΩ]} \quad \cdots(3) \)

よって、測定できる電圧の最大値 V_max [V] は、(1)式と(3)式を使って次のように求めることができます。

\( \begin{aligned} V_{\mathrm{max}} &= I_{\mathrm{1max}} \cdot R_{\mathrm{total}} \\[12pt] &= 8.33 \times 48 \\[12pt] &= 400 \text{ [V]} \quad \cdots(4) \end{aligned} \)

よって、正解は(4)となります。

　解 説 (b)　　　

設問(b)の問題文の最初に「直流電圧 450 V の電圧を測定するために、二つの直流電圧計の指示を最大目盛にして測定したい」と書かれています。これは重要なヒントなので、見落とさないようにしてください。

設問(a)での結果も踏まえると、要するに、直流電圧計 V₁ には最大電流の 8.33 [mA] を流して 150 [V] とし、直流電圧計 V₂ には最大電流の 10 [mA] を流して 300 [V] とすることで、合計 450 [V] の電圧を測定したいという話です。

イメージ図を描くと、次のような感じです。

ただし、実際には上図のようにはなりません。設問(a)でも考えた通り、直列に並んだ抵抗を流れる電流は必ず一致しているはずなので、上図のように電流が 8.33 [mA] と 10 [mA] と異なっているのはおかしいです。

この矛盾を解消するために必要なのが、設問(b)の問題文の2文目以降に出てくる「抵抗」です。この抵抗をどちらかの電圧計に直列か並列かで接続すると、上図のように 2 つの電圧計の能力をどちらも最大に生かすことができるとのことです。

まずはこの抵抗を直列につなぐか並列につなぐかですが、上図の状態で抵抗を直列にくっつけても、3 つの抵抗が直列に並ぶだけなので、電流の値に変化は起こりません。よって、直列では NG なので、並列につなぐのが正しそうです。

続いて、この抵抗を電圧計 V₁ につなげるか電圧計 V₂ につなげるかですが、これは両パターン描いてみるとわかりやすいです。先に不正解の V₂ のパターンを描いてみます。

上図からわかるように、V₁ で 8.33 [mA] だった電流が、分岐することによって増えて 10 [mA] になるというのはキルヒホッフの法則に反していておかしいので、これは誤りであることがわかります。

よって、おそらく V₁ につなげるパターンが正解だと推測できるので、こちらの場合も図示します。

すると、上図のように V₁ の 8.33 [mA] と分岐した抵抗 R を流れる電流 I を合わせることで、V₂ に流れる 10 [mA] になると考えれば、これは矛盾なく成立するので、正しいことがわかります。

以上から、（ア）には「V₁」、（ウ）には「並列」、（エ）には「V₂」が入ります。

最後に（イ）の抵抗値 R が残りましたが、この抵抗 R を流れる電流 I [mA] と端子間電圧 V₁ [V] から、次のように計算することができます。

\( \begin{aligned} I &= 10 – 8.33 \\[12pt] &= 1.67 \text{ [mA]} \quad \cdots(4) \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} R &= \frac{150}{1.67} \\[12pt] &= 90 \text{ [kΩ]} \quad \cdots(5) \end{aligned} \)

よって、（イ）には「90」が入ります。

以上から、

• ア：V₁
• イ：90
• ウ：並列
• エ：V₂

となるので、正解は(2)です。