電験三種 H26年 機械 問15 問題と解説

　問 題　　　　　

周波数が60Hzの電源で駆動されている4極の三相同期電動機(星形結線)があり、端子の相電圧V[V]は、電機子電流I_M[A]は200A、力率1で運転している。1相の同期リアクタンスx_s[W]は1.00Ωであり、電機子の巻線抵抗、及び機械損などの損失は無視できるものとして、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　上記の同期電動機のトルクの値[N・m]として最も近いものを、次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 12.3
2. 368
3. 735
4. 1270
5. 1470

(b)　上記の同期電動機の端子電圧及び出力を一定にしたまま界磁電流を増やしたところ、電機子電流がI_M1[A]に変化し、力率cosθが(θ=30°)の進み負荷となった。出力が一定なので入力電力は変わらない。図はこのときの状態を説明するための1相の概略のベクトル図である。

このときの1相の誘導起電力E[V]として、最も近いEの値を次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 374
2. 387
3. 400
4. 446
5. 475

 

 

 

 

 

　解 説　　　　

(a)

問われている同期電動機のトルク T [N・m] は、電動機の全出力 P [W] と回転子の角速度 ω [rad/s] から次の式で求められます。これは押さえておくべき重要公式です。

\begin{aligned} T &= \frac{P}{\omega}\text{ [N・m]} \quad \cdots(1) \end{aligned}

上式より、トルク T を計算するためには、出力 P と角速度 ω の 2 つの値を知る必要があります。

まず、角速度 ω [rad/s] を求めるために、電動機の回転速度（同期速度） N_s [min^-1] を計算します。極数 p = 4、周波数 f = 60 [Hz] より、同期速度 N_s は次のようになります。

\begin{aligned} N_s &= \frac{120f}{p} \\[12pt] &= \frac{120 \times 60}{4} \\[12pt] &= 1800\text{ [min}^{-1}\text{]} \quad \cdots(2) \end{aligned}

よって、毎分 1800 回転することから、 1 秒あたりの回転角である角速度 ω は次のように求まります。

\begin{aligned} \omega &= 2\pi \times \frac{N_s}{60} \\[12pt] &= 2\pi \times \frac{1800}{60} \\[12pt] &= 60\pi\text{ [rad/s]} \quad \cdots(3) \end{aligned}

次に、もう 1 つの要素である電動機の全出力 P [W] を求めます。問題文より電機子巻線抵抗や損失は無視できるため、電動機の出力 P は三相入力電力と等しくなります。

端子の相電圧 V = 400/√3 [V]、電機子電流 I_M = 200 [A]、力率 cosθ = 1 より、 3 相分の全出力 P は次のように計算できます。

\begin{aligned} P &= 3 V I_M \cos\theta \\[12pt] &= 3 \times \frac{400}{\sqrt{3}} \times 200 \times 1 \\[12pt] &= 80000\sqrt{3}\text{ [W]} \quad \cdots(4) \end{aligned}

よって、(3)式と(4)式の結果を(1)式へ代入して、トルク T を計算します。

\begin{aligned} T &= \frac{80000\sqrt{3}}{60\pi} \\[12pt] &≒ 735\text{ [N・m]} \quad \cdots(5) \end{aligned}

以上から、(a)の正解は(3)となります。

 

(b)

界磁電流を増やした後の状態について、問題文のベクトル図を基に三平方の定理を用いて誘導起電力 E [V] を求めます。

端子電圧および出力が一定であるため、有効電力（入力電力）は変化しません。そのため、電圧ベクトル V と同相の電流成分は一定に保たれるので、次の(6)式が成り立ちます。

\begin{aligned} & I_M = I_{M1} \cos 30^\circ \\[12pt] & \Leftrightarrow 200 = I_{M1} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[12pt] & \Leftrightarrow I_{M1} = \frac{400}{\sqrt{3}}\text{ [A]} \quad \cdots(6) \end{aligned}

ここで、上図のベクトル図において、誘導起電力 E を斜辺とする直角三角形を考えると、底辺（水平成分）および高さ（垂直成分）は次のように表されます。

• 底辺の大きさ：V ＋ x_s I_M1 sin 30°
• 高さの大きさ：x_s I_M1 cos 30°

これらに各数値を代入すると、それぞれの成分の大きさは次のようになります。

\begin{aligned} V + x_s I_{M1} \sin 30^\circ &= \frac{400}{\sqrt{3}} + 1.0 \times \frac{400}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2} \\[12pt] &= \frac{400}{\sqrt{3}} + \frac{200}{\sqrt{3}} \\[12pt] &= \frac{600}{\sqrt{3}}\text{ [V]} \quad \cdots(7) \end{aligned}

\begin{aligned} x_s I_{M1} \cos 30^\circ &= 1.00 \times \frac{400}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[12pt] &= 200\text{ [V]} \quad \cdots(8) \end{aligned}

よって、三平方の定理より、誘導起電力 E [V] は(7)式と(8)式を用いて次のように計算できます。

\begin{aligned} E &= \sqrt{\left( \frac{600}{\sqrt{3}} \right)^2 + 200^2} \\[12pt] &= \sqrt{\frac{360000}{3} + 40000} \\[12pt] &= \sqrt{120000 + 40000} \\[12pt] &= \sqrt{160000} \\[12pt] &= 400\text{ [V]} \quad \cdots(9) \end{aligned}

以上から、(b)の正解は(3)となります。