3 次方程式 f(x) = x³ – x² + 2ax² -5ax + 3a = 0 が 2 重解 (三つの解のうち二つのみが等しくなる解) をもつような、定数 a の取り得る値の総和はいくらか。

1．-2
2．-1
3． 0
4． 1
5． 2

　解 説　　　　　

３次方程式の解を求める必要があるので、まずは x に 0,±1…と代入して、0 になる値を探します。f(1) = 0 となるため、f(x) は「x – 1」を因数に持ち、3 つある解の 1 つは x = 1 です。

f(x) = (x – 1)(x² + 2ax -3a) と因数分解します。

①：(x² + 2ax -3a) の部分が x = 1 以外の重解を持つ場合を考えます。重解を持つのであれば (x + a)² です。定数項に注目すると -3a = a² でなければいけません。つまり、a = 0 or -3 です。

②：(x² + 2ax -3a) の解のうち 1 つが x = 1 である場合　を考えます。x = 1 を代入すれば、-a + 1 なので、これが 0 の時、a = 1 です。すると x² + 2x – 3 = (x + 3)(x -1) となるため、確かに これで 2 重解です。

①、② においてとりうる a は「0,-3,1」なので、足すと -2 です。

以上より、正解は 1 です。

図のように、水平面と角 θ ( 0 < θ < π/2 ) をなす滑らかな斜面があり、小球 P が一端についた長さ r の糸の他端を斜面上の点 O に取り付けた。斜面上で P に円運動をさせたとき、糸がたるまないための最高点における P の速さ v の最小値として最も妥当なのはどれか。ただし、重力加速度の大きさを g とする。

　解 説　　　　　

・斜面上の小球 P として注目すれば
中心方向への力が mg sinθ…(1) です。

・最高点における 速さを v_P とおくと
遠心力の公式から F = mv_P²/r…(2) です。

(2) ≧ (1) が、糸がたるまない条件と考えられます。解けば v_P ≧ √grsinθ です。従って、v の最小値は √grsinθ です。

以上より、正解は 2 です。

あらかじめ真空にした容器に、CH₄ と O₂ を物質量比 1：3 で混合した気体を封入した。この気体の温度を 300 K にしたところ、容器内の圧力は 1.00 × 10⁵ Pa となった。その後、CH₄ を完全燃焼させ、温度が 300 K に戻るまで冷却したところ、液体の水が生成した。このときの容器内の圧力として最も妥当なのはどれか。

ただし、気体は全て理想気体として扱い、液体の水への気体の溶解は無視できるものとする。また、300 K における飽和水蒸気圧は 3.57 × 10³ Pa であり、容器の容積は変化せず、液体の水の体積は無視できるものとする。

1． 2.5 × 10⁴ Pa
2． 2.9 × 10⁴ Pa
3． 4.6 × 10⁴ Pa
4． 5.0 × 10⁴ Pa
5． 5.4 × 10⁴ Pa

　解 説　　　　　

【完全燃焼前】
混合気体において、それぞれの気体の分圧は物質量の比になります。完全燃焼する前の状態において、CH₄ の分圧 P_CH4 は (1/4) × (1.00 × 10⁵) Pa、O₂ の分圧 P_O2 は (3/4) × (1.00 × 10⁵) Pa です。

【完全燃焼後】
CH₄ の完全燃焼の式は
CH₄ + 2O₂ → CO₂ + 2H₂O です。

係数を見れば、CH₄ は同じ物質量の CO₂ になるので、分圧に変化ありません。また、O₂ が CH₄ の 2 倍消費されるので、O₂ の分圧は (1/4) × (1.00 × 10⁵) になるとわかります。H₂O に関しては液体の水が生成したので、飽和水溶液圧 3.57 × 10³ Pa が気体の水の分圧です。

× 10⁴ で揃えると
P_CO2：2.5 × 10⁴
P_O2：2.5 × 10⁴
P_H2O：0.357 × 10⁴ です。

従って、容器内の圧力は「P_CO2 + P_O2 + P_H2O」
= (2.5 × 10⁴) + (2.5 × 10⁴) + (0.357 × 10⁴)
≒ 5.4 × 10⁴ です。

以上より、正解は 5 です。

KCl を 1.0 × 10^-3 mol、K₂CrO₄ を 1.0 × 10^-3 mol 含む混合水溶液 1.0 mL がある。これに水を加え、全体を100 mL とした。これに、0.10 mol・L^-1 の AgNO₃ 水溶液を一定温度の下で滴下した。このときの水溶液に関する次の記述の ㋐ ～ ㋓ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

ただし、この温度における AgCl，Ag₂CrO₄ の溶解度積はそれぞれ [Ag⁺][Cl^–] = 2.0 × 10^-10  mol²・L^-2，[Ag⁺]² [CrO₄^2-] = 1.0 × 10^-12 mol³・L^-3 とする。また、滴下した AgNO₃ 水溶液の体積は無視できるものとする。

「この操作では先に ㋐ が ㋑ として沈殿し、その後 ㋒ が沈殿する。㋒ が沈殿し始めたとき、沈殿せず溶液中にイオンとして留まっている ㋐ の濃度は ㋓ である。」

　解 説　　　　　

溶解度積が与えられているので、溶解度を求めます。

【溶解度 S】
AgCl の溶解度を S₁ とします。
AgCl ⇄ Ag⁺ + Cl^– なので 溶解度積 Ksp = S₁² です。2.0 × 10^-10 = S₁² を解けば、AgCl の溶解度は S₁ = √2 × 10^-5 と表せます。

一方、Ag₂CrO₄ の溶解度を S₂ とします。
Ag₂CrO₄ ⇄ 2Ag⁺ + CrO₄^2- なので 溶解度積 Ksp = (2S₂)²(S₂) = 4S₂³ です。1.0 × 10^-12 = 4S₂³ を解けば、Ag₂CrO₄ の溶解度は S₂ =  ₃√(1/4) × 10^-4 です。

S₁ < S₂ なので
溶解度の小さい AgCl が先に沈殿します。 正解は 1 ~ 3 です。

【Ag₂CrO₄ が沈殿し始める時の [Ag⁺]】
Ag₂CrO₄ が沈殿し始める時の 銀イオンの濃度 [Ag⁺] は、[Ag⁺]² [CrO₄^2-] = 1.0 × 10^-12 mol³・L^-3 の [CrO₄^2-] に 1.0 × 10^-2 mol/L (※参照) を代入すれば、1.0 × 10^-5 mol/L とわかります。

※ K₂CrO₄ を 1.0 × 10^-3 mol 含んでいて、水を加え全体を 100 mL にしたので、もしこの水溶液が 1L あれば、その中には K₂CrO₄ を 1.0 × 10^-2 mol 含むことになります。従って、濃度 1.0 × 10^-2 mol/L です。

【溶けている [Cl^–]】
[Ag⁺][Cl^–] = 2.0 × 10^-10  の [Ag⁺] に 1.0 × 10^-5 mol/L を代入すれば、[Cl^–] = 2.0 × 10^-5 mol/L です。

以上より、正解は 2 です。

フェノール (C₆H₅OH) に関する記述として最も妥当なのはどれか。

1．常温常圧で無色、無臭の液体で、トルエンに比べると融点・沸点ともに低い。

2．反応性が小さく、ハロゲンを作用させてもベンゼンのような付加反応や置換反応は起こりにくい。

3．一部の分子から OH 基が水酸化物イオンとして電離するため水溶液はアルカリ性を示すが、アンモニアよりも弱い塩基である。

4．フェノールの誘導体はさらし粉の水溶液を加えると特殊な呈色反応を示し、例えばフェノールの場合は赤紫色を呈する。

5．ベンゼンとプロペンを触媒存在下で反応させ、生成物を酸素で酸化した後、希硫酸で分解することによりアセトンとともにフェノールが生成する。

　解 説　　　　　

選択肢 1 ですが
フェノールは常温常圧で「固体」です。液体ではありません。選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 ですが
フェノールのハロゲン化は容易に進行します。選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 ですが
フェノールは弱い酸です。選択肢 3 は誤りです。

選択肢 4 ですが
さらし粉で呈色される代表例はアニリンです。フェノールで呈色はされないと考えられます。選択肢 4 は誤りです。

以上より
選択肢 1 ~ 4 誤りなので、正解は 5 です。

類題 R1no31 ヒドロキシ基をもつ化合物の性質及び反応
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-r1-31/

コロイドに関する次の記述の ㋐、㋑、㋒ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「コロイド粒子は、セロハンなどの半透膜を通過できない。そこで、コロイド溶液を半透膜のチューブなどに入れ純水などに浸しておくことで、コロイド溶液を精製できる。この操作は ㋐ の現象を利用している。

コロイド溶液に 2 本の電極を入れ直流電源につなぐと、例えば粘土のコロイド溶液の場合は、コロイド粒子が正極の側に移動する。この現象を ㋑ という。

粘土のコロイド溶液に少量の電解質を加えると、コロイド粒子が沈殿する。このとき加える電解質として Al₂(SO₄)₃ と Na₃PO₄ を比較すると、陽イオンのモル濃度が同じとき、 ㋒ の方がコロイド粒子をより沈殿させやすい。」

　解 説　　　　　

㋐ ですが
半透膜による分子サイズに基づく分離なので「透析」です。正解は 3 ~ 5 です。

㋑ ですが
「ブラウン運動」は、やや大きなコロイド粒子に溶媒分子が衝突することによる、不規則な運動のことです。コロイド粒子が正極側に移動する現象は「電気泳動」です。正解は 1 or 3 です。

㋒ ですが
Al³⁺ と Na⁺ の比較なので、価数が大きい Al³⁺ の方が沈殿させやすいです。

以上より、正解は 3 です。

アミノ酸及びタンパク質に関する記述 ㋐ ～ ㋓ のうち、妥当なもののみを挙げているのはどれか。

㋐　タンパク質を構成するアミノ酸は側鎖が異なる 22 種類存在し、ヒトの必須アミノ酸は 7 種類である。

㋑　メチオニン及びシステインは、構造中に硫黄を含むアミノ酸である。システインに含まれる硫黄原子がポリペプチド中又はポリペプチド間でジスルフィド結合を形成する。

㋒　タンパク質の二次構造には、α ‒ ヘリックスや β ‒ シートなどがある。ヒトのヘモグロビンは、2 種類のポリペプチドが 2 本ずつ集まった四次構造をとるタンパク質である。

㋓　温度や pH などの条件によりタンパク質の立体構造が変化して本来の働きを失うことを相変異という。

1．㋐、㋑
2．㋐、㋒
3．㋑、㋒
4．㋑、㋓
5．㋒、㋓

　解 説　　　　　

㋐ ですが
22 → 20、7 → 9 です。㋐ は誤りです。

㋑ は妥当です。
メチオニン及びシステインについての記述です。

㋒ は妥当です。
タンパク質の高次構造についての記述です。

㋓ ですが
失活です。相変異ではありません。㋓ は誤りです。

以上より、正解は 3 です。

類題 H27no59 タンパク質
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-27-59/

図Ⅰは、サルコメア（筋節）を模式的に表したものである。このサルコメアの長さと張力
の関係が図Ⅱのようになるとき、ミオシンフィラメントの長さはおよそいくらか。

1． 0.2 nm
2． 1.4 nm
3． 1.6 nm
4． 2.0 nm
5． 2.2 nm

　解 説　　　　　

サルコメアの長さが 2.0 よりも短いと張力が減少するのは、アクチンフィラメントが衝突していることを反映しています。アクチンフィラメントがちょうど閉じた状態におけるサルコメアの長さが 2.0 です。

3.6 よりも長いことがありえないことから、ミオシンがめいいっぱいアクチンフィラメントの間をつないだ時のサルコメアの長さが 3.6 です。アクチンフィラメント部分で 2.0 μm なので、ミオシンフィラメントは 3.6 – 2.0 = 1.6 μm とわかります。

以上より、正解は 3 です。

RNA に関する次の記述の ㋐、㋑、㋒ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「タンパク質合成においては、mRNA，tRNA，rRNA などのRNA が働いている。このうち tRNA は、特定のアミノ酸を ㋐ 末端に結合してリボソームに運搬し、運搬するアミノ酸の種類に応じた特定の塩基配列をもつ ㋑ 部位で対応する mRNA の配列と結合する。mRNA の開始コドン AUG に対応する特定の tRNA (開始 tRNA) には、㋒ が結合している。」

　解 説　　　　　

㋐ ですが
tRNA は「3′ 末端」にアミノ酸を結合します。正解は 1 ~ 3 です。

㋑ ですが
運搬するアミノ酸に対応した塩基配列を「アンチコドン」といいます。正解は 1 or 2 です。ちなみに、mRNA における、特定のアミノ酸に対応した塩基配列が「コドン」です。

㋒ ですが
mRNA の開始コドン AUG に対応する 開始 tRNA には「メチオニン」が結合しています。

以上より、正解は 2 です。

類題 H28no75 原核細胞の翻訳開始
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-28-75/

図に表す生存曲線に関する次の記述の㋐、㋑、㋒に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「A 型の生存曲線を示す動物は、産んだ子に対する親の保護が ㋐。B 型の生存曲線を示す動物の幼齢時の死亡率は、老齢時の死亡率と比較して ㋑。C 型の生存曲線を示す動物について、雌雄が同数であって相対年齢 20 で 1 度だけ卵を産むとき、この動物の個体群が維持されるためには雌雄 1 対当たり最低㋒個の卵を産む必要がある。」

　解 説　　　　　

㋐ ですが
A 型の動物は、年齢 0 → 20 で 生存数 1000 → 800 程度と大部分が生き残っています。これは産んだ子に対する親の保護が大きいことを意味します。㋐ は「大きい」です。正解は 1 ~ 3 です。

㋑ ですが
生存曲線がほぼ直線ということは、どの世代においても死亡率がほぼ一定ということです。㋑ は「ほぼ変わらない」が妥当です。正解は 2 or 3 です。

㋒ ですが
C 型の動物は、年齢 0 → 20 で 生存数 1000 → 2 と大部分が生存しません。この 2 個体 で 1 度だけ卵を産む場合を考えます。個体群が維持される、つまり 年齢 0 の生存数 1000 になるためには、100% 卵が成長するとしても、1000 個卵が必要です。

以上より、正解は 3 です。