半径が 5 の球に内接する、底面の半径が 4 の直円柱の体積として正しいのはどれか。

1．32π
2．48π
3．64π
4．80π
5．96π

　解 説　　　　　

【解法１　立体なので切断して考える】
立体なので、対称性を保つようにど真ん中で真っ二つに切断して切断面を考えると下図のようになります。

直円柱の高さは 6 とわかります。底面積は 半径 4 の円なので、16πです。従って、体積は 16 π × 6 = 96π です。

以上より、正解は 5 です。
 
【解法 2  大雑把な体積評価と選択肢の活用】
球の体積の公式は V = 4/3 πr³ です。ここで π≒3 と近似すれば、大体球の体積は 4×5³ = 500 です。図より、球の半分以上を直円錐が占めていると考えられるため体積は250以上と評価できます。

選択肢の数はだんだん大きくなっており、選択肢 4 で近似して 240 であるため、正解は 5 と考えられます。

以上より、正解は 5 です。

xy 平面上の任意の点 P(X、Y) を、直線 y = 3x に関して対称な点 Q(X’、Y’) に移す 1 次変換が、行列 A を用いて

と表されるとき、Aとして正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

1 次変換？という印象を受けると思います。「わけわからないものが出てきたら具体的に考える」です。

任意の点P（X,Y）とあるので、点を具体的に考えます。（0,0) や (0,1) や (1,0) といった簡単な点にします。(0,1) を例に考えます。

y = 3x に関して対称な点に移動させてみます。具体的な座標はすぐにわかりませんが、図形的に（１より小さい、１より小さい）という値の点に移ることがわかります。

各選択肢を正解と仮定して X = 0 , Y = 1 を移動させてみると、以下のようになります。

以上より、正解は 2 です。

xy 平面上の点 (1、－1) から、曲線 y = 1/3 x³ ー x に傾きが正の接線を引いたときその傾きの値として正しいのはどれか。

1. 1/2
2. 3/4
3. 5/4
4. 3/2
5. 7/4

　解 説　　　　　

【解法１　大雑把な評価で選択肢を絞る】
y = 1/3 x³ ー x のグラフを、できるだけ正確に書きます。x = 0 の時、y = 0 です。また、右辺は

とかけるので、x = ±√3 の時も y = 0 です。以上を参考にして、下図のようになります。

赤い線が接線です。すると、接線の傾きは「(1,-1)と(√3,0)」を結ぶ直線よりも少し小さい傾き　と評価できます。

√3 ≒ 1.7 です。従って「(1,-1)と(√3,0)」を結ぶ直線　は、右に 0.7 進んで、上に 1 上がる直線です。この傾きは、1/0.7≒ 1.4 です。これより少し小さい傾きとなれば選択肢の中では 5/4 となります。

以上より、正解は 3 です。
 
【解法2 微分で求める】
y = 1/3 x³ ー x を微分すると
y’ = x² ー 1 です。

接点を（t,1/3 t³ ー t）とおきます。接線の傾きは (t² ー 1) とかけます。接線の式は
l：y = (t² ー 1) x ＋β　とおくことができ、点（t,1/3 t³ ー t）を通ることから、β = ー2/3 t³ とわかります。

改めて、接線の式は
l：y = (t² ー 1) x ＋(ー2/3 t³)　です。

点（1,-1）を通る時
－１=(t² ー 1)  ー2/3 t³　が成り立ちます。

ー2/3 t³ + t² = 0
ー2/3 t + 1 = 0　∴ t = 3/2 です。
※ここで正解が 4 と間違えないように！
※この t は接点の x 座標です。傾きではありません。

接線の傾きは
(3/2)² ー１ = 9/4 ー１ = 5/4 です。

以上より、正解は 3 です。

図のような四角錐の頂点 A から出発し、四角錐の辺上を通って頂点を次々に移動する経路を考える。

ある頂点から辺で結ばれた隣の頂点のいずれかへの移動を 1 回の移動とし、1 回の移動では最短経路をとるものとする。このとき、頂点 A から 4 回の移動を終えた時点で頂点 A にいるような移動経路の数は全部でいくつか。

1．8
2．16
3．24
4．32
5．40

　解 説　　　　　

選択肢から、せいぜい 40 通りなので、最悪数え上げようと考えます。A と A 以外の４つの頂点に分けると考えやすいです。

まず、点が１回移動する場合について、以下のように場合分けができます。

１：【A→A以外への移動】
A → A以外 は、100% 移動します。この移動は移動先が B,C,D,E なので「４通り」考えられます。

２：【A以外→Aへの移動】
これは 1 通りです。

３：【A 以外 → A 以外への移動】
これは２通り考えられます。

これをふまえ、４回の移動を、１回めから順に考えてみます。
 

【１回めの移動】
A→A以外なので４通り考えられます。
 
【２回めの移動（１）】
A 以外 → A と２回めに移動したとします。すると３回めの移動が、A→A以外と確定します。４回めに A にいるためには、A以外→A→A以外→A　と移動しなければならないからです。このパターンは、１×４×１=４通りです。１回めの移動が４通りあったので、全パターンは、４×４=１６通りです。
 
【２回めの移動（２）】
A 以外 → A 以外と２回めに移動したとします。すると、３回めの移動で A に行ってしまうとどうしても４回めの移動で、A以外に行ってしまいます。従ってA以外→A以外→A以外→A　と移動しなければなりません。このパターンは、２×２×１=４通りです。１回めの移動が４通りあったので、全パターンは、４×４=１６通りです。
 
以上より、合わせて３２通りです。正解は 4 です。
 
ちなみに、全てのパターンをあげてみると
A→B→A→B→A
A→B→A→C→A
A→B→A→D→A
A→B→A→E→A
 
A→C→A→B→A
A→C→A→C→A
A→C→A→D→A
A→C→A→E→A
 
A→D→A→B→A
A→D→A→C→A
A→D→A→D→A
A→D→A→E→A
 
A→E→A→B→A
A→E→A→C→A
A→E→A→D→A
A→E→A→E→A
 
A→B→C→B→A
A→B→C→D→A
A→B→E→B→A
A→B→E→D→A
 
A→C→B→C→A
A→C→B→D→A
A→C→D→C→A
A→C→D→E→A
 
A→D→C→B→A
A→D→C→D→A
A→D→E→B→A
A→D→E→D→A
 
A→E→B→C→A
A→E→B→E→A
A→E→D→E→A
A→E→D→C→A　です。

図のフローチャートにおいて、出力される n の値はいくらか。

1．7
2．8
3．9
4．10
5．11

　解 説　　　　　

フローチャートを読みます。

「a ← b , b ← c , n ← n + 1  を行って、条件分岐」までを１まとめで処理します。赤字部分が新しくなった数値です。

(a,b,n)=(3,5,1)n
(a,b,c,n)=(3,5,9,1)
(a,b,c,n)=(5,9,9,2)n
(a,b,c,n)=(5,9,17,2)
(a,b,c,n)=(9,17,17,3)n
(a,b,c,n)=(9,17,33,3)
(a,b,c,n)=(17,33,33,4)n
(a,b,c,n)=(17,33,65,4)
(a,b,c,n)=(33,65,65,5)n
(a,b,c,n)=(33,65,129,5)
(a,b,c,n)=(65,129,129,6)n
(a,b,c,n)=(65,129,257,6)
(a,b,c,n)=(129,257,257,7)n
(a,b,c,n)=(129,257,543,7)
(a,b,c,n)=(257,543,543,8)y → n=8 を出力。

以上より、正解は 2 です。
類題 H28no5

図のように、長さ L の 2 本の糸に、質量がそれぞれ 2m、m の小球 A、B を取り付けそれぞれを天井の点 O からつるし、鉛直線と角 θ、2θ をなすように支えている。いま小球 A、B を同時に静かに放すとき、小球 A、B を放してから小球 A、B が最初に衝突するまでの時間として最も妥当なのはどれか。

ただし、小球 A、B は、同一平面上を運動するものとする。また、θ は十分に小さいものとし重力加速度の大きさを g とする。

　解 説　　　　　

単振り子なので、周期の公式を思い出します。また２つの振り子を一気に考えることはできないので１つずつ考えます。

この公式から、ポイントはひもの長さだけで質量は関係ないということがわかります。球 A,B の周期は同じです。従って、ちょうどど真ん中（Oのちょうど真下）で２つの球はぶつかるとわかります。その時間は「1往復が 1周期」なので、1/4 周期です。よって、π/2　√(L/g) です。

以上より、正解は 2 です。

定常波に関する、次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「水面上に二つの波源 A、B がある。AB 間の距離は 7.0 cmであり、波源 A、B からは波長 4.0 cmで同じ振幅の波が広がっている。波源 A と波源 B の振動が同位相であるとき、線分AB上に定常波の腹は( ㋐ )個でき、波源 A と波源 B の振動が逆位相であるとき、線分 AB 上に定常波の腹は( ㋑ )個できる。」

㋐　㋑
1．1　1
2．3　3
3．3　4
4．4　3
5．4　4

　解 説　　　　　

定常波とは、その場所で波が動かずに上下するように見える波のことです。左右から同じ波がやってきて重なり合うとできます。これは動画を見ると理解がすごく深まると思います。リンク先をぜひちらっと見てください。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/housoku/teijyouha.html（http://wakariyasui.sakura.ne.jp　『わかりやすい高校物理の部屋』より。）

定常波の「腹」とは、最も大きく波打っている部分のことです。波全体を考えるのは難しいので一点に注目して考えるとわかりやすいです。一番わかりやすい「波が強め合う」所はど真ん中だと思います。

かめはめ波　だったり、螺旋丸だったりを「◯→　　←△」と２人が同時に放てば、中点でドカーンと爆発するイメージです。

後は 「λ/2 間隔で腹」 となります。（これは覚えておくと簡単です。また、波長λの波が同じ速さ逆向きで来るから、λ/2 間隔でどんどんぶつかる　というイメージでもよいと思います。）すると、A から 1.5m,3.5m,5.5m の所に腹ができます。３つです。

逆位相の場合は「→（属性炎）　　（属性水）←」を同魔力で打ち合い、真ん中で完全に打ち消し合って０になるイメージです。中点が　節　になります。

以下、λ/2 間隔で節です。そして、節と節の間に腹ができます。A から 1.5m , 3.5m , 5.5m の所が　節で、0.5m , 2.5m , 4.5m , 6.5m の所が腹です。

以上より、㋐は 3 個で、㋑は 4 個です。正解は 3 です。

内部抵抗の無視できない電池に、5.0 Ωの抵抗を接続したところ、電流が 450 mA流れ、9.0 Ω の抵抗を接続したところ、電流が 300 mA 流れた。この電池の起電力はおよそいくらか。

1．3.0V
2．3.2V
3．3.4V
4．3.6V
5．3.8V

　解 説　　　　　

内部抵抗を R として考えます。
（R+5） Ωで 0.45A 流れて、（R+9）Ωで 0.3A 流れたということです。※1A = 1000mA です。

V は一定で V=RI なので、(R+5)×0.45 = (R+9)×0.3 です。整理すると、0.15R = 0.45 なので、内部抵抗 R = 3 とわかります。すると、8 Ωで 0.45A 流れたということなので、V = 8×0.45 = 3.6 です。

以上より、正解は 4 です。

α 粒子及び α 崩壊等に関する、次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「図のように、同種の二つの原子核 A をそれぞれ等しい運動エネルギーで互いに逆方向から正面衝突させたところ原子核反応が生じてネオン (²⁰₁₀Ne) 原子核と α 粒子が生成され、同一直線上の反対方向にそれぞれ放出された。

放出されたネオン原子核の運動エネルギー E_Neに対する、α 粒子の運動エネルギー E_αの比 E_Ne/E_α は 5 であった。衝突前後においてこの系の運動量は保存されることから、α 粒子は質量数(陽子数と中性子数の和)が( ㋐ )の原子核であると考えられる。

放射性原子核 ²³⁵₉₂U は α 崩壊及び β 崩壊を繰り返し、最終的に安定な原子核 ²⁰⁷₈₂Pbになる。α 崩壊は α 粒子を一つ放出するため、α 崩壊した原子核は α 粒子の分だけ陽子数、中性子数がそれぞれ減少する。また、β崩壊では、原子核中の一つの中性子が陽子に変化し原子核から β 線(電子)が放出される。

このことから、²³⁵₉₂U が ²⁰⁷₈₂Pb に至るまでの α 崩壊の回数は ( ㋑ ) 回であることが分かる。」

㋐　　㋑
1．2　5
2．2　7
3．2　14
4．4　5
5．4　7

　解 説　　　　　

α 粒子が、He 原子の原子核であることは基本知識です。陽子数 2 個、中性子数 2 個なので、質量数は 4 です。正解は 4 or 5 です。

選択肢 4 を正解と仮定します。α崩壊 5 回とすれば、陽子数が 10、中性子数が 10 減ります。質量数は 215 のはずです。しかし安定な鉛原子核の質量数は 207 なので誤りです。

以上より、正解は 5 です。

実在気体の状態方程式の一つに、ファンデルワールスの式がある。気体の圧力、体積、絶対温度をそれぞれ p、 V、 Tとし、気体定数を R とすると、1mol の気体についての式は次式

である。ここで、a、bはファンデルワールス定数である。

n〔mol〕の気体についてのファンデルワールスの式として最も妥当なのはどれか。なお、1 個の分子が受ける引力は気体の密度に比例し、単位時間に容器の壁に衝突する分子数も、気体の密度に比例すると考えられている。

　解 説　　　　　

分子間力の存在が a/V² の項であり、分子固有の体積の存在が nb の項です。分子間力も固有の体積も物質量が大きくなるほど大きくなるものです。従って左側のかっこの中身は、n² が「分子」になくてはなりません。正解は 4 or 5 です。

また、左辺右側の( ) については Vーnb であることは基礎知識です。知らなくても、分子固有の体積の分を引く項なのだから、n が大きくなるほど小さくなるはずだから 「-nb」となると判断できます。

以上より、正解は 4 です。
類題　H25no10