2 次方程式 3x²– 8x – 16 = 0 の二つの解が α、β であるとき

はいくらか。

　解 説　　　　　

与えられた 2 次方程式は
(3x＋４)(x ー 4) = 0 と因数分解できます。従って、x = ー4/3、4 が解です。

小さい方から α、β とおき、α = -4/3、β = 4 とします。
α + β = 8/3 です。αβ は -16/3 です。
従って （α + β）/αβ　は -1/2 です。

今回は運良く因数分解できたのですが
うまく方程式が解けないこともあります。
その場合は、解と係数の関係を用いて解きます。

「ax² + bx + c = 0 の解を α、β とおくと
α + β = -b/a、αβ = c/a」 です。
これを解と係数の関係と呼びます。この機会にぜひおさえておきましょう！

a = 3、b = -8 より、α + β = 8/3 です。
a = 3、c = -16 より、αβ は -16/3 です。
従って （α + β）/αβ　は -1/2 となります。

実際の解である 「x = ー4/3、4」を求めずに答えが出ている点に注目してください。

以上より、正解は 3 です。

x が実数のとき、次の命題 ㋐、㋑、㋒ のうち真であるもののみを全て挙げているのはどれか。

㋐　x² = 2 ならば x = √2 である。
㋑　x < -1 ならば  1/x < -1 である。
㋒ (x²+ 1) x = 0 ならば x = 0 である。

1．㋐
2．㋐、㋑
3．㋑
4．㋑、㋒
5．㋒

　解 説　　　　　

命題とは「◯◯ならば、△△である」という形式の文章のことです。
◯◯の部分を変形していって、うまく△△に同値変形できれば、真です。
反例があれば偽です。

㋐ですが
x² = 2 を解くと、 x = ±√2 です。
つまり、反例として x = -√2 があげられます。よって偽です。

㋑ですが
x < -1 は変形するのが難しいので、具体例を考えてみます。
x = -2 としてみましょう。すると 1/x の x に－２を代入すれば ー1/2 です。これは－１よりも大きいです。従って、反例がみつかったので偽です。

㋒は真です。
かけて０なら、どちらかが０です。つまり x² + 1 = 0 or x = 0 です。
前提条件として実数とあるため x² ≧ 0 です。
このため x² + 1 は０ではありません。従って、x = 0 となります。

以上より、正解は 5 です。

図のような BC= 1，∠B = 75°，∠C = 45° の三角形 ABC において，AB の長さはいくらか。

　解 説　　　　　

∠A は 60° です。
従って、B から AC に垂線を下ろすことで、特殊な三角形を作ることができ、辺の比がわかります。△BCD の辺の比は１：１：√２です。△ABDの辺の比は１：２：√３です。

以上より、正解は 3 です。

類題 H27no3

図のような底面の半径が a，高さが a の円錐の体積が 72π であるとき，a はいくらか。

1． 5
2． 6
3． 7
4． 8
5． 9

　解 説　　　　　

円錐の体積は、底面積 × 高さ ÷ 3 です。これは基礎知識です。
半径が a、高さが a なので、この体積は
πa² × a ÷ 3 = πa³/3 です。

これが 72 π ということなので
πa³/3 = 72 π　だから
a³ = 216 であれば OK です。

選択肢 の値を３乗してみれば、a = 6 の時 ちょうど 216になります。

以上より、正解は 2 です。

図のような関数 y = f(x) の x = a における微分係数 f’(a) として正しいのはどれか。ただし、f(x) は x = a  で微分可能であるものとする。

　解 説　　　　　

「x = a における微分係数 f’(a)」というのは「３」のような数値です。その数値がグラフにおいて何を意味するかというと「x = a における グラフの接線の傾き」です。これは基礎知識です。

a と a+h の幅 h が限りなく０に近づく時、「f(a+h)-f(a)/h」（「２点を結ぶ線分の傾き」が、x = a におけるグラフ の接線の傾きに限りなく近づきます。問題文のグラフと照らし合わせて、ぜひ納得感を持ってもらえればと思います。従って、「h → 0」 となっているものが正解です。正解は 4 or 5 です。

選択肢 5 ですが
h → 0 の時に「f(a)/0」 に近づいていきます。f(a) は「３」のような具体的数値なので「3/0」に近づきます。つまり、とんでもなく大きな値となるため、x = a におけるグラフの接線の傾きには近づいていきません。よって、選択肢 5 は誤りです。

以上より、正解は 4 です。

f (x) = x³ + ax² + bx が、f ’ (0) = 0、f ‘ (1) = 0 を満たすとき，a はいくらか。

　解 説　　　　　

xⁿ の微分が nx^n-1 であることは基礎知識です。

f ‘ (x) = 3x² + 2ax + b です。
f ‘ (0) = 0 なので、b = 0 です。
f ‘ (1) = 3 + 2a = 0 です。
∴ a = -3/2 です。

以上より、正解は 1 です。

類題 H29no6

図のように，xy 平面上の x ≧ 0 の領域において，曲線 y = x² ，直線 y = 1 及び y 軸で囲まれた部分の面積はいくらか。

　解 説　　　　　

【面積の概算】
明らかに斜線部は面積 1/2 の三角形より 大きい面積と概算できます。さらにはみ出す部分について 1/4 よりは小さく、さらに 1/8 付近と考えられます。以上から、面積 0.625~0.75 （5/8~3/4) と当たりをつけることができます。すると正解は 4 です。

【定積分による面積計算】
斜線部は x = 0 ~ 1 において、上端は y = 1 、下端は y = x² に挟まれた部分です。このような部分の面積は  ∫ （上ー下）の 定積分で計算することができます。

以上より、正解は 4 です。

類題 H29no8

はいくらか。

　解 説　　　　　

展開して積分計算します。
(x-1)(x+1) = x²-1 となるため
x(x-1)(x+1)
=x(x²-1)
=x³-x です。

以上より、正解は 1 です。

テーブルの上にコインが 6 枚あり、 3 枚が表向き、 3 枚が裏向きに置かれている。

この 6 枚のコインをそれぞれ 3 枚ずつの二つのグループにランダムに分け、一方のグループのコインを全てひっくり返す（表向きのコインは裏向きに、裏向きのコインは表向きにする）。

このとき、表向きになっているコインの枚数が二つのグループで等しい確率はいくらか。

　解 説　　　　　

具体的に考えます。

３枚ずつのグループに分けた時に、片方のグループが
１：表３枚→もう片方のグループは裏３枚
２：表２枚裏１枚→もう片方のグループは表１枚裏２枚
３：表１枚裏２枚→もう片方のグループは表２枚裏１枚
４：裏３枚→もう片方のグループは表３枚

という４パターンが考えられます。

すると、どのパターンも、一方のグループのコインを全てひっくり返せば、他方のグループの表のコインの枚数と等しくなります（！）。従って、求める確率は 1 です。

以上より、正解は 5 です。

類題 H28no9

［log₂10］ はいくらか。なお，[x] は，x を超えない最大の整数である。

1． 1
2． 2
3． 3
4． 4
5． 5

　解 説　　　　　

まず、指数が、数字の肩に乗ってる小さな数です。2³ の「３」が指数の例です。
そして対数は、指数部分の別表現です。「log_底真数」という表現をします。

先程の 2³ の 指数部分である「3」 を、対数表現すると log₂8 です。
底は「もともとなんていう数字に乗っかってたか」です。２の肩にのっかってたんだから 底が 2 です。
真数は「結局全体として、数がいくつか」です。2³ = 8 だから、真数が８です。

log₂10 というのは 2^x = 10 を満たすような x ということです。
このように読み取ることができれば、対数表現についての基礎的な理解は十分です。

log₂10 は、びしっと値を求めることはできません。
しかし、2³ = 8、2⁴ = 16 なので、x が 3~4 ということはわかります。

すると
[x] は x を超えない最大の整数ということなので、[log₂10] = [3,…] → 3 です。

以上より、正解は 3 です。