連立不等式

の解として正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

【解法１：具体的な数を代入】
x = 0 を与えられた連立不等式の両方に代入すると
0 < 7 OK
7 ≦ 3 ダメ　です。x = 0 が範囲に含まれる 選択肢 2,5 は誤りです。

選択肢 より x = -1 が繰り返し出ているため、x = -1 を代入します。
-2 < 5 OK
6 ≦ 6 OK　x = -1 はOKです。選択肢 3,4 は誤りです。
以上より、正解は 1 です。

【解法２：不等式を１つずつ解いて、数直線上で考える】
2x < x + 7
x < 7・・・（１）

x + 7 ≦ 3(1-x)
x + 7 ≦ 3 – 3x
4x ≦ -4
x ≦ -1 ・・・（２）

図より、x ≦ -1

以上より、正解は 1 です。

図のような曲線 y = x² – 4x + 5 を x  軸に関して対称移動して得られる曲線として正しいのはどれか。

1．y = -x² – 4x – 5
2．y = -x² + 4x – 5
3．y = -x² + 4x + 5
4．y = x² – 4x – 5
5．y = x² + 4x + 5

　解 説　　　　　

グラフ全体を一気に対称移動するのは難しいので、一点に注目して対称移動する、と考えるとわかりやすいかと思います。

まず、グラフから (0,5) を通っていることがわかります。この点を x 軸に関して対称移動すれば (0,-5) です。選択肢を検討すると、選択肢 3,5 は x = 0 を代入すると 5 になってしまうので誤りです。よって、正解は 1,2,4 のどれかです。

また
２次関数における特徴的な一点といえば頂点です。 頂点の x 座標が、y = ax² + bx + c の時、x = -b/2a です。これは基礎知識です。（忘れても、平方完成で導ければ OK です。）

今回は a = 1、b = -4 なので、頂点の x 座標は 2 です。 x = 2 を、y = x² -4x + 5 に代入すれば 4 – 8 + 5 = 1 です。これで頂点は (2,1) とわかります。

頂点を x 軸に関し対称移動すると (2,-1) に移動します。
x = 2 を代入すると
選択肢 1 は -17
選択肢 4 は -9 になるため誤りです。

以上より、正解は 2 です。

図のように、外径 4 m、内径 2 m で中空の薄い円板を、鉛直な壁と平行で、円板の中心と点光源を結ぶ直線が壁に垂直となるように固定したとき、壁に影が投影された。光が当たっている円板の面積 A1 と壁に投影された影の面積 A2 の比 A₂/A₁ はいくらか。

1. 1
2. 2
3. 4
4. 8
5. 16

　解 説　　　　　

A₁ は
「半径 2m の円の面積から、半径 1m の円の面積を引けば」求めることができます。

A₂ ですが
大きい方の円は、光が 5m 進むと外形の直径が 4m 大きくなっていると考えれば、壁に映る円の大きい方の直径は 8m です。同様に、小さい方の円の直径も、光が 5m 進むと 2m 大きくなっていると考えれば、壁に映る円の小さい方の直径は 4m です。

従って、A₂ は
半径 4m の円の面積から、半径 2m の円の面積を引けば求めることができます。

A₂/A₁ = 12π/3π = 4 です。

以上より、正解は 3 です。

cosθ = -3/4 (0° ≦ θ ≦ 180°) のとき、sinθ、tanθ の値の組合せとして正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

θ が 90° を超えているため「単位円を用いた三角比の定義」を思い出します。単位円（半径 1 の円）を考えて、原点から θ 方向にビームを放ち、単位円との交点の x 座標、y 座標をそれぞれ x,y とします。この x 座標が cos θ、y 座標が sin θ です。

ちなみにこの時、tan θ = y/x です。本問では cos θ = -3/4 という条件が与えられていることを忘れないようにしましょう。

直角三角形の斜辺が 1、一辺の長さが 3/4 なので、三平方の定理より残りの一辺（sinθ）を求めることができます。(3/4)² + sin²θ = 1 です。

※sin²θ + cos²θ = 1 という三角関数の基礎知識から、すぐに sin θ を求めてもかまいません。
※図から明らかに、y > 0 です。

選択肢より検討すれば、sin θ = √7/4 です。

tan θ は、sinθ/cosθ です。
ただ、本問では選択肢を見れば、sin θ = √7/4 の時点で正解がわかるため、tanθ を求める必要はありません。

以上より、正解は 4 です。

類題H28no4

曲線 y = x³– 3x のグラフの概形として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

具体的な点について考えます。
x = 0 を代入すると y = 0 です。(0,0) は原点です。
これは全ての選択肢にあてはまります。

x = 1 を代入すると y = -2 です。
x > 0 において、全く負になっていない 選択肢 1~3 は、絶対に(1,-2)を通っていません。誤りとわかります。

x = -1 を代入すると y = 2 です。
x < 0 において、正になっていない選択肢 4 は、絶対に(-1,2)を通っていません。誤りです。

以上より、正解は 5 です。

関数 f(x) = x³ – x² + x + 1 の x = 2 における微分係数 f’(2) の値はいくらか。

1． 1
2． 3
3． 5
4． 7
5． 9

　解 説　　　　　

xⁿ の微分が nx^n-1 であることは基礎知識です。

f’(x) = 3x² – 2x + 1 です。 f’(2) = 12 – 4 + 1 = 9 です。

以上より、正解は 5 です。

類題 H28no5

定積分

の値はいくらか。

1． -240
2． -60
3． -56
4． 68
5． 80

　解 説　　　　　

∫ f(x)dx = F(x) とおくと、定積分（小さな数字がついている積分）は

です。また、積分するというのは、微分の逆演算です。x³ を積分すると x⁴/4 (+C：Cは積分定数)です。 以上より

以上より、正解は 2 です。

類題 H28no7

図のような，xy 平面上において曲線 y = -x² + 1 と曲線 y = x² – 1 で囲まれた領域の面積はいくらか。

　解 説　　　　　

【面積の概算】
明らかに斜線部は面積 1/2 の三角形 4 つ分より 大きい面積と概算できます。さらにはみ出す部分についても 2個で 1/2 よりは小さいだろうと考えられ、はみ出す部分 4 個 で最低 1/2 は超えそうです。以上から、面積 2.5~3 と当たりをつけることができます。すると正解は 3 です。

一応これで正解は 3 と推測されます。以下、確認のため定積分で計算しています。時間がない場合、これで決めうってもいいと思います。

【定積分による面積計算】
対称性から、x = 0~1 の部分の面積を計算して２倍すればOKです。
斜線部は x = 0 ~ 1 において、上端は y = -x² + 1 、下端は y = x² – 1 に挟まれた部分です。このような部分の面積は  ∫ （上ー下）の 定積分で計算することができます。

２倍すると 8/3 です。

以上より、正解は 3 です。

類題 H28no8

図のようにマスを配置する。
コインを投げ、コインが表の場合は時計回りに 1 マスだけコマを進め、コインが裏の場合は反時計回りに 1 マスだけコマを進める。

A からスタートしてコインを 5 回投げ終わった時点でコマが A、B、C、D、E にいる確率をそれぞれ P_A、P_B、P_C、P_D、P_E とおくとき、これらの大小関係として正しいのはどれか。

1．P_A = P_C = P_E ＜ P_D ＜  P_B
2．P_A = P_E ＜ P_B  = P_C = P_D
3．P_A ＜ P_E ＜ P_B ＜ P_C ＜ P_D
4．P_E ＜ P_A ＜ P_D ＜ P_C ＜ P_B
5．P_E ＜ P_D ＜ P_C ＜ P_B ＜ P_A

　解 説　　　　　

コインを投げて表が出る場合を ◯、裏が出る場合を ☓ と表します。５回投げた時のパターンは以下の６パターンです。それぞれの到着するコマをマスを見ながら考えます。
◯◯◯◯◯ ・・・ D
◯◯◯◯☓・・・ D
◯◯◯☓☓・・・ B
◯◯☓☓☓・・・B
◯☓☓☓☓・・・D
☓☓☓☓☓・・・D　です。

A,C,Eになる確率は 0 です。つまり P_A,P_C,P_E に大小はありません。

以上より、正解は 1 です。

初項が1 ，第 20 項が 58 の等差数列について，初項から第 20 項までの和はいくらか。

1． 550
2． 560
3． 570
4． 580
5． 590

　解 説　　　　　

公差を d とします。
初項から 20 項まで行く際、公差を 19 個足しています。つまり 58 – 1 = 「57」 が 「19d」 です。よって 公差 d = 3 です。

従って、この等差数列は
１，４，７、、、５２，５５，５８　です。これを全部足すといくらかという問題です。

等差数列の和では、頭とお尻を足すとよいです。
1 + 58 = 59 となります。
次の頭とお尻、つまり４と５５を足せばやはり 59 です。
20項あって、頭とお尻から 59 を作れるので、59 が 10 個できます。

59 × 10 = 590 です。

以上より、正解は 5 です。

別解：
公差 d = 3 は読み解けたとします。

1+4+7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37+40+43+46+49+52+55+58
と書き上げて、足し算をやや気合いを入れて実行しても OK です！

類題 H27no10