1． 1
2． 2
3． 3
4． 4
5． 5

　解 説　　　　　

解法１
具体的な数を色々入れてみて、例えば (x,y,z) = (3,1,5) が見つかれば、値を代入して終わりです。分子が -24、分母が -6 となり、4 とわかります。

解法２
条件の等式に 24 をかけて分母を払えば、6(x+y) = 4(y+z) = 3(z+x) となります。x + y = 2k、y + z = 3k、z + x = 4k であればこの等式が成り立ちます。例えば k = 1 の時、x = 3/2、y = 1/2、z = 5/2 を得ます。値を代入すれば 4 です。

以上より、正解は 4 です。

　解 説　　　　　

【解法 1：ロピタルの定理】
分母・分子をそれぞれ微分した後で、値を代入してもよいというのがロピタルの定理です。0/0 型や ∞/∞　型の時に有効な手段です。

分母：√x = x^1/2　なので、微分すると (1/2) × 1/√x …(1) です。 (1) に x = 4 を代入すれば 1/4 です。※ x^-1/2 = 1/√x です。 

分子：√3x + 4 = (3x + 4)^1/2 なので、微分すると (3/2) × 1/√(3x + 4) …(2) です。(2) に x = 4 を代入すれば 3/8 です。

求めたい極限は、ロピタルの定理より
(3/8)/(1/4) = 3/2 です。

以上より、正解は 4 です。

【解法 2 0/0 型なので、約分】
x – 4 = X とおきます。x = X + 4、lim X → 0 となります。以下のような式変形により、分母・分子に 0 が残らないようにして、極限を求めます。

 
 
以上より、正解は 4 です。

　解 説　　　　　

・sin²θ + cos²θ = 1、sin,cos は「1 山の面積が 2」が基礎知識です。

1 山の面積が 2 なので、x 軸、y 軸、y = cosx で囲まれる部分の面積は 1 です。y = asinx が 面積を 2 等分するので、それぞれの面積は 1/2 です。

選択肢を活用し、具体的に考えます。
a = 1/2 とすると、y = sinx/2 の最大値は 1/2 です。濃く塗られた部分の面積を三角形で近似して考えると、底辺 π/2、高さ 1/2 であっても、面積は π/8 にしかならず、小さすぎます。a = 1/2 ではありません。選択肢 1 は誤りです。

また、a = 1 の場合は、2 つの曲線が y = sin x と y = cos x なので交点が (π/4、√2/2) であることがすぐにわかります。三角形で近似して考えれば 底辺 π/2、高さ √2/2 ならば √2π/8 なので、1/2 を超えています。a = 1 も誤りです。選択肢 5 は誤りです。

残った 3 つの選択肢の中で真ん中の値で考えてみます。a = 3/4 とします。

交点を考えます。
(3/4) sinx = cosx  両辺ニ乗すれば
(9/16) sin²x = cos²x
(9/16) (1 – cos²x) = cos²x
(25/16)cos²x = 9/16
cos²x = 9/25
∴ cosx = 3/5 → sinx = 4/5 を満たす x が、交点の x 座標です。この x を α とおきます。

斜線部の面積は、α を用いて定積分で表すと
∫ (上端の式ー下端の式) dx　x：0 → α なので

以下のように計算すると
4/5 + 3/4 × 3/5 – 3/4
= (16 + 9 – 15)/20
= 1/2 となり、ちょうど面積を 2 等分することがわかります。

以上より、正解は 3 です。

図のように、質量 2m、高さ H で、上面が滑らかな曲面である台が、斜面と水平面から成る滑らかな床の水平面の上に置かれている。水平面の左側には斜面があり、斜面、水平面及び台の曲面は滑らかにつながっている。

水平面からの高さが h (h < H) の斜面上において、質量 m の小球を静かに放した。すると、小球が台の曲面上で最高点に達し、このとき、台は右方向へ運動していた。水平面から小球が達した最高点までの高さとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

まず、最下点での速さを求めます。力学的エネルギー保存則より、mgh = mv²/2 を解けば、v = √2gh…(1) です。

次に、台の曲面上で止まった時を考えます。その時の高さを H’ とします。先ほどの最下点で動いていたのは小球です。台の曲面上で小球が止まった時には台が動いています。この時の台の速さを V とおきます。

運動量保存則より
mv = mV + 2mV…(2) と表せます。

小球は見た目止まるのですが、台全体が動くので V で動いていると考えます。(2) を解けば V = v/3 です。

力学的エネルギー保存則より
mv²/2 = mgH’ + {3m × (v/3)²/2} です。H’ について解くと
H’ = v²/3g です。

すると (1) より v²/g = 2h なので
代入すればH’ = 2h/3 となります。

以上より、正解は 4 です。

図の曲線は、x 軸の正の向きに進む縦波 (疎密波) について、ある時刻における縦波による媒質の x 軸の正の向きの変位を y 軸の正の向きの変位に変換し、x 軸の負の向きの変位を y 軸の負の向きの変位に変換したものである。

図中の点 A ～ D のうち、媒質が最も密な点と、媒質の速度の大きさが最大となる点の組合せとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

グラフにおいて縦軸が正であるような点とは「位置 x において右向きに媒質が移動」しています。また、縦軸が負である点は「位置 x において左向きに媒質が移動」しています。

だから「グラフが右下がりの所が、左右両サイドからギュッと媒質がせまってきていて密」と読み取れるかという点がポイントです。簡易的には、縦波について「右下がりに x 軸と交わる所が密」「右上がりに x 軸と交わる所が疎」と覚えてもいいと思います。

最も密な点は B です。正解は 2 or 3 です。

媒質の各点は左右になみなみします。端っこまで移動した時には速度が 0 になります。速度が最大になるのは、各点のもともとの位置に、どちらかから戻って来る時です。従って、グラフで言えば y 座標が 0 である点が、速度最大です。従って、速度の大きさが最大となる点は B,D です。

以上より、正解は 3 です。

参考　国家公務員一般職 (化学) H24 no7
https://yaku-tik.com/koumuin/h24-kagaku-07/

図のような回路において、AC 間の電圧降下 v_AC と BC 間の電圧降下 v_BC の差が v_AC – v_BC = 1 V であるとき、右上の抵抗の抵抗値 x〔Ω〕として最も妥当なのはどれか。

1． 1
2． 3
3． 5
4． 7
5． 9

　解 説　　　　　

電圧降下 V_降下 = RI です。

具体的に考えるとわかりやすいと思われます。まず x = 5 の時、並列部分の抵抗が同じになるので、流れる電流も同じになります。すると電圧降下も等しいため、明らかに誤りです。

そして
v_AC – v_BC = 1 ということは、v_AC の方が 1 大きいということです。従って、AC 間に流れる電流の方が、BC 間に流れる電流よりも大きいとわかります。

流れる電流が大きいのであれば、抵抗は小さいはずです。そのため、10 – x は x よりも小さいとわかります。つまり、10 – x < x なので、x > 5 です。正解は 4 or 5 です。

x = 7 とします。
並列回路は「3Ω – 1Ω」と「7Ω – 1Ω」の並列となります。つまり 4Ω と 8Ω の並列回路とみなせます。

オームの法則 V = RI より、I = V/R です。
AC 間には 8/4 = 2A の電流が流れます。
V_AC = 2 × 1 = 2 です。

BC 間には 8/8 = 1A の電流が流れます。
V_BC = 1 × 1 = 1 です。

v_AC – v_BC = 1 が成立するため、これが正解です。

以上より、正解は 4 です。