解 説　　　　　

具体的に考えるのがおすすめです。

√5 を 2.236 と評価します。すると
√5 + 2 は 4.236、√5 – 2 は 0.236 です。

₃√(√5 + 2) は、3 乗すると 4.236 になる数です。
1.6³ = 4.096 なので、「1.61 や 1.62 ぐらいの数」…(1) と推測できます。

₃√(√5 – 2) とは、3 乗すると 0.236 になる数です。
0.6³ = 0.216 なので、「0.61 や 0.62 ぐらいの数」…(2) です。

求めたいのは (1) – (2) なので
選択肢から最も近い数を選べば 1 です。

以上より、正解は 1 です。

ーーー
式をいじって解くと以下の通りです。

√5 + 2 = a、√5 – 2 = b とおきます。
a – b = 4、ab = 1 です。

a^1/3 – b^1/3 = k とおき、両辺 3 乗します。
a – b -3(a^1/3 – b^1/3) = k³

式の左右を交換し、a – b = 4 を代入すると
k³ = 4 – 3(a^1/3 – b^1/3) です。

右辺の ( ) の中身は k なので
k³ = 4 – 3k です。

k³ + 3k – 4 = 0
(k – 1)(k² + k + 4) = 0 より、k = 1 を得ます。

以上より、正解は 1 です。

f (x) は全ての実数 x に対して微分可能な関数である。 f (x) の導関数 f'(x) が f’ (0) = 0 を満たし、さらに、全ての実数 y、zに対して f (y-z) – f (y) f (z) = siny sinz を満たすとき、導関数 f’ (y) として正しいのはどれか。

1． -siny
2． sin y
3． 1 -cos y
4． -1 + cos y
5． sin 2y

　解 説　　　　　

選択肢 の活用がおすすめです。

選択肢 1 が正解とします。
f'(y) = -siny なら、f(y) = cosy です。

すると
与えられた恒等式の 左辺
f(y-z) – f(y)f(z)
= cos(y-z) – cosycosz
= cosycosz + sinysinz – cosycosz
= sinysinz
= 右辺となります。

左辺を変形していったら右辺になったので、全ての実数 y,z に対して与えられた恒等式が成り立ちます。

そして、f(x) = cosx は全ての実数 x に対して微分可能です。また、f'(0) = 0 も満たします。従って、問題文の設定と矛盾ないため、これが答えです。

以上より、正解は 1 です。

図Ⅰのような 1 辺の長さ 1 の正方形と半径 1 で中心角 90° の扇形を考える。

図Ⅱは、図Ⅰの正方形内にランダムに N 個の点を散布した際に、N 個に対する扇形内の点の個数の比を用いて、円周率 r の近似値を出力するフローチャートである。図Ⅱ中の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのは次のうちではどれか。

ただし、N を十分大きな正の整数とする。また、rand (0、1) は、 0 以上 1 未満の実数の一様乱数を生成する操作を表す。

　解 説　　　　　

㋐ ですが
a² + b² = 1 では、例えば a = 1,b = 0 のように、ピンポイントに円周と対応した値が出なければ yes になりません。すると、c はほとんど増えず、最終的に ほぼ 0 が出力されるチャートとなってしまいます。㋐ は a² + b² < 1 が妥当です。正解は 3 ~ 5 です。

㋑ ですが
正方形の面積が 1 で、円の内側の面積が π/4 (大体 0.78) なので、c は 確率 大体 0.78 で yes となり、カウントされていきます。N 回チャートが回り終わった時に、c は大体 0.78 N になるということです。すると、c/N を出力すると、それは「π/4」の近似値です。

出力したいのは「π の近似値」なので c/N の 4 倍が妥当です。㋑ は 4c/N です。

以上より、正解は 5 です。

滑らかで水平な地面に静止した質量 M の台車 P において、図のように、P の天井から質量m の小球 Q を長さ l の糸によってつり下げた。糸がたるまないようにしながら、糸が鉛直方向と角 θ ( 0 < θ < π/2 ) をなす位置まで Q を持ち上げ、全体が静止した状態で Q を静かに放した場合、最下点に達したときの地面に対する Q の速さとして最も妥当なのはどれか。ただし、重力加速度の大きさを g とする。

　解 説　　　　　

解法 1【選択肢の活用】
M がとてつもなく大きくてほぼ動かないとします。すると最下点に達した時の小球 Q の速さは、最下点を基準とした位置エネルギー U = mg{l(1 – cos θ)}…(1) が、運動エネルギーに変換されて mv²/2…(2) になるので、mg{l(1 – cos θ)} = mv²/2 を解けば √2gl(1 – cosθ) です。

M が小さい時は 台車が動いて地面に対する速さが変わるはずなので、M が含まれない選択肢 1 は誤りです。

M が大きい時に
選択肢 2 → 0
選択肢 4 → ∞
選択肢 5 → 0 です。
√2gl(1 – cosθ)　に近づくのは選択肢 3 のみです。

以上より、正解は 3 です。

解法 2 【運動量、力学的エネルギー　保存則】
最下点での Q の速さを v、そのときの P の速さを V とおきます。

・運動量保存 (水平方向) より
mv + MV = 0…(1)

・力学的エネルギー保存により
mv²/2 + MV²/2 = mg{l(1 – cos θ)}…(2)

(1) から V = mv/M より V を消去して
v について解くと
v = √2Mgl(1 – cosθ)/(M + m) を得ます。

以上より、正解は 3 です。

図のように、線密度がそれぞれ ρ、4ρ の糸 L₁、L₂ の一端どうしを点 B でつなぎ、L₂の他端 C に水平にした振動数 f の音叉 (おんさ) O の先端をつなぎ、L₁ の他端には滑車 A を介して小物体をつるした。AB 間、BC 間の糸は水平で、その長さは共に l で等しい。

いま、O を振動させたところ、AB 間、BC 間の糸は共振し、AB 間には、A、B を節として2 個の腹をもつ定常波ができた。このとき、BC 間にできる定常波において、腹の位置の糸の振動数と腹の個数の組合せとして最も妥当なのはどれか。

ただし、滑車の大きさは無視できるものとし、糸の線密度と張力の大きさをそれぞれt、S とすると、糸を伝わる波の速さ v は次式で与えられるものとする。

　解 説　　　　　

AB 間における「A、B を節として2 個の腹をもつ定常波」とは、以下のような定常波です。

BC 間にできる定常波について、音叉とつながっているので AB 間も BC 間も 振動数は変化しません。振動数は f です。正解は 3 or 4 です。

問題文で与えられた v = √S/ρ より、張力が一定であれば、波の速さは「線密度 の平方根に反比例」です。

BC 間の 糸を伝わる波の速さ v₂ は、線密度 L₂ が L₁ の 4 倍なので、L₁ における波の速さを v₁ とすれば、v₁ の 1/2 倍であるとわかります。v₂ = v₁/2 です。

波の基本式 v = fλ より
f が一定で v が半分であれば、波長 λ が半分であるとわかります。波長 が半分の定常波を描けば、以下のようになります。従って、腹の個数は「4 個」です。

以上より、正解は 3 です。

図のように、極板間隔 6d、電気容量 C の平行板コンデンサの極板間に、極板と同じ面積で厚さ 2d の導体板を、極板からそれぞれ 3d、d だけ離れた位置に、極板に対して平行かつはみ出る部分がないように入れたとき、コンデンサの電気容量として最も妥当なのはどれか。ただし、極板の面積は極板間隔に対して十分大きく、入れる前の導体板は帯電していないものとする。

　解 説　　　　　

コンデンサに「導体」が挟まれています。
※誘電体ではありません。

導体板が挟まれた場合は、導体板部分を圧縮したコンデンサを考えればよいです。つまり、極板間隔が 4d になったとすればよいです。

コンデンサの公式
Q = CV、C = ε₀S/d は基本知識です。

C は d に反比例しているので
d が 2/3 倍になれば、C は 3/2 倍になります。

以上より、正解は 5 です。