次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

1 の 5 乗根は「x⁵ = 1」…(1) の解です。
x = 1 が解の 1 つですが、虚数ではありません。

x = 1 が解の 1 つであることから、(1) を変形して
x⁵ – 1 = 0 とすれば、左辺は (x – 1)(…) = 0 と変形できます。

左辺を x – 1 で割れば
(x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1) = 0 です。x ≠ 1 であれば、その解を ω とすると
ω⁴ + ω³ + ω² + ω + 1 = 0 となります。㋐ は 0 です。

1 + 2ω + 3ω² + 4ω³ + 5ω⁴ という式は、数字だけ見れば 1,2,3… と「1 ずつ増えて」います。等差数列です。文字部分は、初めを ω⁰ が掛けられているとすれば ω⁰、ω¹、ω²…と「ω をかけた分ずつ増えて」います。等比数列です。

『等差 × 等比 型の数列』では
１：まず和を S とおく
２：等比数列の公比 r をかけた rS を考える
３：S – rS に注目する　という流れが定石です。

本問では
S = 1 + 2ω + 3ω² + 4ω³ + 5ω⁴
ωS = ω + 2ω² + 3ω³ + 4 ω⁴ + 5 ※ ω⁵ = 1 に直しています。

S – ωS = 1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ – 5
（1 – ω)S = -5

∴ S = 5/(ω – 1) となります。㋑ は 5/(ω – 1) です。

以上より、正解は 3 です。

　解 説　　　　　

具体的に考えるのがおすすめです。

t = 0 の時、点 P は (2,0,0) です。
t = π/2 の時、点 P は (1,1,√2) です。
t = π の時、点 P は (0,2,0) です。

できるだけ正確に、手元に図を書きます。t = 0,π/2,π の時の 3 点を滑らかに結び、動点 P の概略を描きます。

OA と AP のなす角を θ とした時に、選択肢から 0 か π/4 か π/2 であるということなので、P(t = π/2) の時の OA と AP のなす角に注目すれば、明らかに直角であることが読み取れるのではないでしょうか。θ は「π/2」です。正解は 4 or 5 です。

曲線の長さは、選択肢より √2 π　か　2 √2 π かです。曲線を直線で近似すれば、(2,0,0) と (1,1, √2) の距離は 2 です。(1,1, √2) と (0,2,0) の距離も 2 です。合わせて 4 なので、4 に近い方を選べば √2 π です（一例として、√2 ≒ 1.4、π ≒ 3.1 で評価すればよいです)。

以上より、正解は 4 です。

袋の中に 1 から 7 までの数字が一つずつ書かれた 7 個の球が入っている。この袋の中から無作為に1 個の球を取り出し、球に書かれた数字を記録してから袋の中に戻す試行を 2 回繰り返す。

1 回目及び 2 回目に出た球の数字をそれぞれ A、B とするとき、確率変数 10A + B の標準偏差はいくらか。なお、確率変数 X の分散を V（X）と表すとき、任意の定数 a に対し V（aX）=a²V（X）が成り立つ。

　解 説　　　　　

標準偏差は、√分散 です。
分散は 「変数 X の 2 乗 の平均」ー「変数 X の平均 の 2 乗」で求めることができます。

変数 X として、1,2,3,4,5,6,7 を取るので
変数 X² は 1,4,9,16,25,36,49 です。それぞれの確率は 1/7 なので、平均は
(1+4+9+16+25+36+49)/7 = 20 です。

変数 X の平均は 1~7 の真ん中なので 4 です。
変数 X の平均の 2 乗は 16 です。

V(A) = V(B)
= 20 – 16 = 4 です。

V(10A + B)
= 100V(A) + V(B)
= 100 × 4 + 4
= 101 × 4

√ V(10A + B)　
＝√(101 × 4)
＝ 2 √101 となります。

以上より、正解は 4 です。

図のように、水平な地表面より高さ 2h の点 A から小球 Q を初速 0 で自由落下させると同時に、A の真下にある地表面上の点 B より l 離れた地表面上の点 O から小球 P を速さ v₀、地表面からの角度 θ (0 < θ < π/2) で発射した。

Q が B より高さ h の点 C に到達する前までの間に、P と Q が衝突するために必要な v₀ の条件として最も妥当なのはどれか。ただし、P、Q の運動は O、A、B を通る平面内で起こるものとし、重力加速度の大きさを g とする。

　解 説　　　　　

いわゆるモンキーハンティングの問題です。初見の場合、まず無理です。一般的に解ける人でも、試験合格のためには解けなくてもよくて、時間を使いすぎないことが重要です。

v₀ がとてつもなく速い場合を考えます。小球 Q が落ちる間もなく、小球 P が水平方向に l 進むのだとすると、初めにぴったり Q を狙っていないと当たりません。つまり ベクトル v₀ の延長方向に Q があります。ここで直角三角形 OAB を考えると l × tan θ = 2h です。tanθ = 2h/l と表すことができます。

具体的に考えます。θ = 45° (π/4) とすれば、tan 45° = 1 だし、l = 2h となって 変数も 1 個減って都合が良さそうです。

【θ = 45°、小球 P の 水平方向変位】
小球 P 水平方向の初速は v₀/√2 です。
水平方向に力は作用しないので等速運動です。
時刻 t における変位は、x = (v₀/√2) × t …(1) です。

小球 P が Q と当たる時、x はちょうど l です。(1) の左辺を l とすれば、t について解くと t = √2 l/v₀ …(3) です。

【θ = 45°、小球 P の垂直方向の変位】
t = 0 の時を 位置 0 として、地面に向かう方向を正とします。

自由落下なので Qy = gt²/2…(2) です。点 C に到達する時 Q_y = l/2 なので、(2) の左辺を l/2 とすれば、t について解くと t = √(l/g) …(4) です。

(3) の時間が、小球 Q が 点 C に到達してしまう時間である (4) よりは小さくないと、小球 Q が点 C を通過してしまいます。つまり「√2 l/v₀ < √(l/g)」が必要な条件です。v₀ について解けば、v₀ > √(2g/l) とわかります。

θ = 45°、2h = l、4h² = l² の時、l を消去すれば
選択肢 1 は　v₀ > √(5/4) × (g/l) なので誤りです。

選択肢 2 は　v₀ > √(5/8) × (g/l) なので誤りです。

選択肢 3 は　v₀ > √(g/l) なので誤りです。

選択肢 4 は　v₀ > √(5/4) × (g/l) なので誤りです。

選択肢 1 ~ 4 誤りです。

以上より、正解は 5 です。

ドップラー効果に関する次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「図Ⅰのように、静止している観測者 B に向かって、振動数 f の音を出す点音源 A が一定の速さ u で移動しているとき、B が観測する音の波長 λ₁ は ㋐ であり、その振動数を f₁ とする。

また、図Ⅱのように、振動数 f の音を出す点音源 A が静止しており、A に向かって、観測者B が一定の速さ u で移動しているとき、B が観測する音の振動数を f₂ とすると、f₁ と f₂ の大小関係は、㋑ となる。ただし、音速を V とし、V > u > 0 とする。」

　解 説　　　　　

ドップラー効果の具体例は、消防車を　止まって聞いてると音が高く聞こえるといったものです。音源が　近づいてくる　→　高くなる　＝　振動数　大きくなってる。という関係があります。

ドップラー効果では、まず「音源と観測者が同じ方向に移動している図」を考えるとよいです。以下のイメージです。小文字 s は source の略、音源を表します。小文字 o は observer の略、観測者を意味します。

ドップラー効果の公式が以下です。

これをふまえると、図Ⅰは v_s = u、v_o = 0 です。
f’ = V/(V – u) × f…(1) です。

波長 λ についてですが、V = fλ なので、λ = V/f…(2) です。(2) の f の所に (1) の右辺を代入すれば、(V-u)/f となります。正解は 4 or 5 です。計算過程は以下の通りです。

② ですが
図Ⅱでは、v_s = 0、v_o = -u となります。f₂ = (V+u)/V  × f です。

f₁ と f₂ の大小関係は、具体的な数で考えるとわかりやすいです。例えば、V = 100、u = 1 とすれば f₁ = 100/99 、f₂ = 101/100 です。f₁ の方が大きくなります。f₁ > f₂ です。

以上より、正解は 5 です。

図Ⅰのように、同じ鉄心にコイル 1 とコイル 2 が巻かれている。コイル 1 に流す電流 I を図Ⅱのように時間変化させたとき、コイル 2 に生じる誘導起電力 V の時間変化を定性的に表したグラフとして最も妥当なのはどれか。

ただし、I は図Ⅰの矢印 a の示す向きに流れるときを正とし、V は抵抗に図Ⅰの矢印 b の示す向きに電流が流れるときを正とする。

　解 説　　　　　

コイルは変化を嫌うので、時刻 T から 電流がコイル 1 に流れ、磁界が右向きに発生すると、それを打ち消す左向きの磁界が生じるように、コイル 2 に電流が流れます。

左向きの磁界が生じるような電流の向きは、右ねじの法則より b 方向です。そのため、V は正の符号となります。選択肢 2,4 は誤りです。

相互誘導により生じる起電力 V は、インダクタンスを M とした時に V = M (dI/dt) と表せます。電流の傾きが一定であれば、V は一定であるということです。そのため、選択肢 1 は誤りです。また、I の傾きが変わる 時刻 2T で、V は変化します。そのため、選択肢 5 は誤りです。

以上より、正解は 3 です。