a = 1 – ³√5 のとき，a⁴ – 2 a³ + 9 a + 7 はいくらか。

　解 説　　　　　

【解法 1：選択肢の活用、具体的に考えて評価　現実的でおすすめ】

³√5 とは「3 乗したら 5 になる数」です。
1.6³ = 4.096 ≒ 4.1
1.7³ = 4.913 ≒ 4.9 なので、³√5 は、大体 1.7 とします。

すると選択肢は

1. 1
2. 5 – 2 × 1.7 = 1.6
3. 13 – 10 × 1.7 = -4
4. 21 – 10 × 1.7 = 4
5. 25 – 12 × 1.7 = 4.6 と評価できます。

a = 1 – 1.7 = -0.7 とします。
a² = (-0.7)² = 0.49 ≒ 0.5 です。(a²)² = a⁴ = 0.25
a³ = 0.5 × -0.7 = -0.35 となります。

これで　与えられた式は
a⁴ – 2 a³ + 9 a + 7
→ 0.25 -2 × (-0.35) + 9 × (-0.7) + 7
= 1.65 です。大体ですが 1.5 ~ 2 ぐらいと評価できました。

従って
選択肢から選べば 5 – 2 × ³√5 が妥当です。

以上より、正解は 2 です。

【解法２：式の変形で字数下げ】

a = 1 – ³√5 より a -1 = – ³√5
両辺を 3 乗して a³ -3a² + 3a -1 = -5
∴ a³ -3a² + 3a +4 = 0

(a⁴ – 2 a³ + 9 a + 7) ÷ (a³ -3a² + 3a +4) を計算すると
商が a + 1、余りが 2a + 3　

A ÷ B = Q…R の時、A = BQ + R なので
a⁴ – 2 a³ + 9 a + 7 = 0 × (a+1) + 2a + 3

右辺は計算すれば 2a + 3 となる。
結局、2a + 3 を求めればよい。

a = 1 – ³√5　を代入すれば
2 (1 – ³√5) + 3
= 5 – 2³√5

以上より、正解は 2 です。

図のように、水平に固定した滑らかな板の中心 O に小さな穴を開けて糸を通し、糸の一端 A に小球を付け、糸の他端 B を手で持ち、半径 r₀、速さ v₀ で小球を等速円運動させた。この状態から、B をゆっくり引いて、半径を r₀ から r₁ (r₁ < r₀) にして小球を等速円運動させたとき、小球の速さとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

半径が変わる円運動の問題です。初見だったり、解き方を知らない場合は、具体的にイメージして 2 択までしぼりたい問題です。

ひもの先に鉄球をつけて (モーニングスター をイメージするとよいです) ある程度の長さでブンブン回すイメージをしてみます。「甘寧一番乗り」を知っていれば、その絵の雰囲気で、ヘリコプターのように床と水平に鉄球を振り回すイメージです。

この時、振り回すひも部分が長いとゆっくり回って、ひも部分が短いと ぎゅんぎゅん速く回るように想像できるのではないでしょうか。つまり r₀ → r₁ になると、v は大きくなると考えられます。そのため、速度が変化しない 選択肢 1、及び 速度が小さくなる 選択肢 2,4 は誤りです。正解は 3 or 5 です。

解き方は面積速度一定の法則を使います。「作用する力が中心力のみの場合、角運動量が保存されます」。これを言い換えたものが「面積速度一定の法則」です。面積速度は 時間あたりに移動する面積と考えればよいです。

等速円運動において、面積速度一定の法則より
それぞれの半径における速度を v₀、v₁ とおけば
「r₀ における面積速度 r₀v₀/2」 と
「r₁ における面積速度 r₁v₁/2」 が等しくなります。

つまり
r₀v₀/2 = r₁v₁/2　です。v₁ = … の形にすれば
v₁ = (r₀/r₁) × v₀ です。

以上より、正解は 3 です。

図のように、体積 V の容器 A 及び体積 2V の容器 B が、開閉できるコックの付いた細管で連結されている。コックが閉じた状態で、容器 A には圧力 P、絶対温度 T、容器 B には圧力 2P、絶対温度 3T の同種類の理想気体が封入されている。この状態からコックを開き、熱平衡の状態に達したとき、容器内の理想気体の圧力として最も妥当なのはどれか。

ただし、全ての容器及び細管は断熱材でできており、容器内の系において内部エネルギーは変化しない。また、容器の熱膨張及び細管の容積は無視できるものとする。

　解 説　　　　　

理想気体というキーワードがあるので、PV = nRT を思い出します。

本問は「温度の違う気体をコックで分離しておき、コックを開いて混ぜた時の圧力を求める」という状況が特殊です。状態方程式だけでは「コックを開いた時に T も P も変化してしまいわけがわからない」という問題があります。

そこで、理想気体に関するもう１つの重要な基礎知識である、気体の内部エネルギーに関する「U = (3/2) nRT」 を思い出して考えます。※この式は単原子分子についての式ですが特に指定がないので単原子分子と仮定して考えます。

コックが閉じた状態における
左側の容器の 気体内部エネルギーを U_左とします。右側も同様に U_右とおきます。

U_左 = (3/2) nRT です。
PV = nRT より U_左 = (3/2)PV…(1) と表せます。

U_右 = (3/2) n’RT’ です。
(2P)(2V) = n’R(3T) より n’RT’ = 4PV より、U_右 = (3/2) × 4PV = 6PV…(2) です。

コックを開いた時も内部エネルギーの合計は変わりません。
(1) + (2) = (15/2)PV です。

コックを開けた時の圧力を P_open とすれば、状態方程式より
P_open (3V) = n”RT” です。

状態方程式の 右辺 n”RT” は、内部エネルギーで表せます。
U = (3/2) nRT を変形すれば、nRT = (2/3)U です。

(2/3) × U
= (2/3) × (15/2) PV 
= 5PV となります。

従って
P_open = 5PV/3V
= (5/3) P です。

以上より、正解は 2 です。

類題 国家一般職 化学 H29no11
https://yaku-tik.com/koumuin/h29-kagaku-11/

濃度不明の消毒液 (次亜塩素酸ナトリウム水溶液) がある。この消毒液の有効塩素濃度をヨウ素還元滴定法により ⑴、⑵、⑶ のように定量した。このとき、この消毒液の有効塩素濃度はおよそいくらか。

なお、このヨウ素還元滴定は、⑵ の操作により、① の反応でヨウ素が遊離し、⑶ の操作により、遊離したヨウ素が ② の反応で還元される性質を利用したものである。

⑴　濃度不明の消毒液 (次亜塩素酸ナトリウム水溶液) を正確に 5.0 mL 取り、精製水を加えて 100 mL とした。

⑵　⑴ の溶液を正確に 30 mL 取り、ヨウ化カリウム 0.30 g と希硫酸 1.5 mL を加えて静かに振った。

⑶　⑵の溶液を、希釈したデンプン溶液を指示薬として、濃度 9.3 × 10^-2 mol・L^-1 のチオ硫酸ナトリウム水溶液で滴定したところ、滴定量は 25 mL であった。

1． 1.3 × 10^-1 mol・L^-1
2． 3.9 × 10^-1 mol・L^-1
3． 4.4 × 10^-1 mol・L^-1
4． 7.8 × 10^-1 mol・L^-1
5． 8.4 × 10^-1 mol・L^-1

　解 説　　　　　

濃度不明の消毒液の濃度を x (mol/L) とします。

(1) の操作前半により 量り取った 5.0 mL 中に 0.005 x (mol) 次亜塩素酸が含まれています。精製水で 100mL としていますが、この時 入っている mol に変化はありません。

(2) では、(1) の溶液を 30mL 取っているため、この中には 「(0.005 x) × 30/100」mol…(1)  次亜塩素酸が含まれます。ここまでのイメージが以下図です。

化学反応式 ① の左辺 ClO^– と I₂ の係数が共に 1 で等しいので、次亜塩素酸の mol がそのままヨウ素の物質量です。そして、化学反応式 ② の左辺 I₂ と左辺 S₂O₃^2- の係数比が 1：2 なので、ヨウ素の物質量の 2 倍、チオ硫酸ナトリウムが反応すると読み取れます。

チオ硫酸ナトリウムは 濃度 9.3 × 10^-2 mol/L、滴定量が 25 mL = 0.025 L なので、その中に含まれるチオ硫酸ナトリウムの物質量は (9.3 × 10^-2)  × 0.025 mol…(2) です。

(2) の半分がヨウ素の物質量であり、次亜塩素酸の物質量なので、(1) × 2 = (2) が成り立ちます。

つまり
(0.005 x) × 30/100 × 2 =  (9.3 × 10^-2)  × 0.025 です。

方程式を解くと x ≒ 7.8 × 10^-1 を得ます。

以上より、正解は 4 です。

次の分子 ㋐、㋑、㋒ におけるそれぞれの原子 a、b のうち、水素イオン (H⁺) の付加がより起こりやすい方を選び出したものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

㋐ ですが
b の炭素は 隣接する アミノ基の 窒素の方が 電気陰性度が高く、それぞれの窒素から 電子を引っ張られており、かなり δ⁺ に電荷が偏っています。そのため、H⁺ の付加は起こりにくいと考えられます。㋐ は「a」です。正解は 1 or 2 です。これで ㋒ は b とわかります。

㋑ ですが
共鳴構造式を考えると、C=N の窒素原子上に正電荷、酸素原子に負電荷がある構造になります。このため、やや窒素の電子が酸素原子側に流れ込んでいるように考えられるため、H⁺ の付加が起こりやすいのは酸素原子と思われます。㋑ は「a」です。

以上より、正解は 1 です。

水素からカルシウムまでの原子 (18 族元素を除く) について、原子番号を横軸、第一イオン化エネルギー、電子親和力、ポーリングの電気陰性度を縦軸にとった模式図の組合せとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

原子番号 9 の F に注目します。F の電気陰性度が、全原子の中で最大であることは基礎知識です。すると、電気陰性度の図は B or D です。これにより、選択肢 3,4 は誤りです。

後は第一イオン化エネルギーについて、原則としてアルカリ金属が小さい、つまり 原子番号 3,11,19 が小さくなるという特徴があります。かつ、原子番号 4 などの半閉殻構造においてやや第一イオン化エネルギーが大きくなるため、単調増加でなく、少しジグザグになるという特徴があります。第一イオン化エネルギーの図は D です。

以上より、正解は 5 です。

類題 H30no6 イオン化エネルギー
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-30-06/

ある生物の DNA を構成する塩基の数の割合を調べたところ、グアニンとシトシンの合計が40 ％ であった。また、この DNA の一方の鎖を構成する塩基のうち、35 ％ がチミン、15 ％がシトシンであった。この鎖と対をなす鎖におけるチミンの割合はおよそいくらか。

1． 15 ％
2． 20 ％
3． 25 ％
4． 30 ％
5． 35 ％

　解 説　　　　　

【DNA 全体の塩基の数の割合】

DNA 構成塩基の相補性から、アデニン (A) と チミン (T) の数は等しいです。また、シトシン (C) とグアニン (G) の数も等しいです。

グアニンとシトシンの合計が 40% であれば
グアニン 20%、シトシン 20% …(1) です。

残りの塩基であるアデニンとチミンの合計が 60% なので
アデニン 30%、チミン 30% …(2) です。

【DNA鎖 1 本ずつに注目した割合】

DNA の 片方の鎖を鎖 1 とおきます。もう一方を鎖 2 とします。

鎖 1 の 塩基の 35% がチミン (T) なら
鎖 2 の 塩基の 35% が アデニン (A) です。

鎖 1 の 塩基の 15% がシトシン (C) なら
鎖 2 の塩基の 15% が グアニン (G) です。

仮に選択肢 1 が正解とすると
鎖 2 のチミン 15% → 鎖 1 のアデニン 15% 、鎖 2 の残り 35% が シトシン → 鎖 1 の 35% がグアニンとなります。

すると
グアニンが 鎖 1 の 35% + 鎖 2 の 15%
シトシン が 鎖 1 の 15% + 鎖 2 の 35% なので、グアニンとシトシンが DNA 全体の塩基の数の 50% を占めてしまいます。(1) と矛盾するため誤りです。

各選択肢を同様に検討すれば、選択肢 3 が妥当です。

以上より、正解は 3 です。

　解 説　　　　　

本問の測定器は共に細胞膜の外側にあるため、細胞膜内外の電位差である静止膜電位について考慮する問題ではありません。時間 t = 0 の時、A も B も「基準電極の部分の電位」と「もう１つの電極の電位」は等しく、電位 0 から始まると考えられます。

従って
㋒、㋓ のみの組み合わせが正解です。

以上より、正解は 5 です。

ヒトの肝臓の働きに関する次の記述の ㋐、㋑、㋒ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「肝臓は横隔膜の下に位置する内臓器官で、動脈 (肝動脈) に加えて、消化管から出る静脈が合流した ㋐ からも血液が流れ込んでいる。肝臓は、タンパク質やアミノ酸が分解されて生じたアンモニアを毒性の低い ㋑ に変換したり、 ㋒ の消化・吸収を促進する胆汁を生成したりといった様々な機能を果たしている。

　解 説　　　　　

㋐ ですが
消化管から出る静脈が合流とあるので「門脈」です。正解は 3 ~ 5 です。

㋑ ですが
肝臓は毒性の高いアンモニアを、毒性の低い尿素に変換します。㋑ は「尿素」です。これにより、㋒ は脂肪とわかります。

以上より、正解は 5 です。

植生に関する記述 ㋐、㋑、㋒ のうち、妥当なもののみを全て挙げているのはどれか。

㋐　遷移がそれ以上進まず、相観が変化しないようにみえる状態に達した森林を極相林といい、我が国では光の少ない環境でも生育できる陰樹林が極相林となることが多い。

㋑　噴火による溶岩が冷えて固まった裸地からの一次遷移は植物が進入しやすく、一般に二次遷移よりも速く進行する。

㋒　暖温帯には、シイやカシなどの照葉樹林が分布しており、これらの樹木は秋から冬にかけて落葉して毎年新しい葉が生長する。

1．㋐
2．㋐、㋒
3．㋑
4．㋑、㋒
5．㋒

　解 説　　　　　

㋐ は妥当です。
極相林についての記述です。

㋑ ですが
土壌も失われている状態から始まる一次遷移では「地衣類やコケ類」が進出します。地衣類は植物ではありません。また、二次遷移の方が、一次遷移よりも遷移の進行が早いです。㋑ は誤りです。

㋒ ですが
「照葉樹林」は、冬でも落葉しない広葉樹です。「秋から冬にかけて落葉して」ではありません。㋒ は誤りです。

以上より、正解は 1 です。

類題 H27no103 植生
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-27-103/