方程式 x⁴ + x² + 1 = 0 の相異なる 4 個の解を α，β，γ，δ とするとき、α⁴ + β⁴ + γ⁴ + δ⁴ はいくらか。

1．-2
2．-1
3．0
4．1
5．2

　解 説　　　　　

解と係数の関係の応用です。なんとか解きたい問題です。

【解と係数の関係】
方程式の左辺を
(x – α)(x – β)(x – γ)(x – δ) = 0 とおけば、左辺を展開すると
x⁴ -(α + β + γ + δ)x³ + (αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ)x² + (αβγ + αβδ + αγδ + βγδ)x + αβγδ です。

係数比較より
-(α + β + γ + δ) = 0…(1)
(αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ) = 1…(2)
(αβγ + αβδ + αγδ + βγδ) = 0
αβγδ = 1 とわかります。

方程式に解 α を代入して変形すれば
α⁴ = -1 – α² です。β、γ、δ についても同様なので

α⁴ + β⁴ + γ⁴ + δ⁴
= (-1 – α²) + (-1 – β²) + (-1 – γ²) + (-1 – δ²)
= -4 -(α² + β² + γ² + δ²) となります。

α² + β² + γ² + δ²
= (α + β + γ + δ)² – 2(αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ) です。(1),(2) を代入すれば
α² + β² + γ² + δ² = -2 とわかります。

従って、α⁴ + β⁴ + γ⁴ + δ⁴
= -4 -(-2)
= -2 です。

以上より、正解は 1 です。

表が赤、裏が白であるコインと、箱があり、初め、箱の中には赤玉と白玉が 1 個ずつ入っている。このとき、次の操作を行う。

操作の結果、箱の中の玉が 0 個になった場合は操作を終了し、それ以外の場合は操作を最大で 6 回繰り返すものとするとき、操作の回数の期待値はいくらか。ただし、コインの表が出る確率と裏が出る確率は等しいものとする。

　解 説　　　　　

表が真っ赤なコインってかっこいいなと思った問題です。期待値の問題では、変数 X と、その変数 X となる確率 P(X) の表を書くのが基本です。

１回目の操作では
確実に箱から玉を 1 つ取り出します。操作が終了する確率は 0 です。

次に、２回目の操作で
1/2 の確率で 箱の中の玉が 0 になります。1/2 の確率で初めの状態に戻ります。

操作が続いているのであれば
３回目の操作では
確実に箱から玉を 1 つ取り出します。

４回目の操作で
1/2 の確率で 箱の中の玉が 0 になります。1/2 の確率で初めの状態に戻ります。

4 回目の操作で終了する確率は
「操作が続いている確率」 1/2 ×
「４回目の操作で箱の中の玉が 0 になる確率」1/2 なので、1/4 です。

５回目の時点で操作が続いているのであれば
６回目で操作が必ず終了になります。この確率は 1 です。

６回目の操作で終了する確率は
「操作が続いている確率」 1/2 × 1/2  なので、1/4 です。

以上をまとめると

従って、求める期待値は
1/2 × 2 + 1/4 × 4 + 1/4 × 6  = 7/2 です。

以上より、正解は 2 です。

図のように、xy 平面上において、直線 y = (2 – √3) x と直線 y = – x があり、ここに点 (2√3、0) を通る直線 l を加えて、これらの 3 直線で囲まれる領域を正三角形とした。このとき、直線 l の傾きはいくらか。

　解 説　　　　　

√3 ≒ 1.73 は基礎知識です。これをふまえてできるだけ正確に図を書き、傾き 3 はやや越えてそう　という点から選択肢 4 or 5 には絞りたい問題です。

また、見た目から x 軸と 直線 l が成す角は 75° で、tan 75° を覚えていれば、正解は 4 でいいような気もします。

点 (2√3,0) を A とおきます。また、y = -x と 直線 l の交点を B とします。点 B から x 軸に垂線の足を引き、x 軸との交点を C とします。

△ OBC が直角二等辺三角形なので、∠ OBC = 45° です。正三角形の 角は 全て 60° なので∠CBA = 60° – 45° = 15° とわかります。そのため、直線 l の傾きは tan 75° です。

tan の加法定理を覚えていればよいのですが、忘れていた場合は「75° の三角比」について、以下のように求めるのがおすすめです。

「辺の比が 1:2:√3 の直角三角形を書く
→ 辺の比 2 の辺をコピーして、√3 の辺を延長させるようにくっつける

→ 90°、75°、15° の直角三角形ができる。
横に 1、縦に 2 + √3  なので、tan 75° = 2 + √3 とわかる」

※ cos 75°、sin 75° については、三平方の定理で斜辺を求めればよいです。二重根号が外せない場合は、答えを覚えてもよいのかなと思います。

以上より、正解は 4 です。

図のように、滑らかな水平面上において、ばね定数 k の軽いばねの一端に質量 m の小物体 A を取り付け、他端を壁に固定して、A の隣に質量 M の小物体 B を置いた。この状態から、B を A に押し付けてばねを自然長から長さ L だけ縮め、A と B を静止させてから静かに手を離すと、A と B は運動を始めた。

このとき、A と B とが離れる直前の B の速さ V と、ばねの伸びの最大値 L’ の組合せとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

選択肢を活用し、具体的に考えます。(床をつるっつるにして、お相撲さんとか寝てる赤ちゃんとかで実写がとれるとすごく面白い設定だと感じました)

・m,M がとてつもなく大きいと、ゆっくりしか戻らないため、m,M → ∞、V → 0 と推測されます。このため、m,M 共に V を表す分母に必要です。片方の文字しか分母にない選択肢 1,2,3 は誤りと考えられます。

・m << M の場合、ばねは自然長 L に戻っておしまいと推測されます。逆に m >> M なら、M を無視して考えると、伸び L まで行くと想像できるのではないでしょうか。選択肢 4 が誤りで、5 が妥当と考えられます。

以上より、正解は 5 です。

図のように、 2 枚の平面ガラス板を一端 O で密着させ、O より距離 L 離れたところで 2 枚のガラス板の間の距離が D になるようにもう一端に薄い紙を挟んで、くさび形の空気層をつくった。真上から波長 λ の単色光を当て、上側のガラス板の下面で反射した光と下側のガラス板の上面で反射した光を真上から観測すると、これらの光が干渉して、明暗の縞模様が生じた。

このとき、O から数えて 2 番目の明線と O との距離として最も妥当なのはどれか。なお、屈折率の小さい媒質中を進んでいた光が屈折率の大きい媒質との境界面で反射するとき、その位相は半波長分だけ変化する。

　解 説　　　　　

2 枚のガラス板のなす角を θ とおきます。L tan θ = D なので、tan θ = D/L です。

単色光の 2 つの反射光の光路差は、2 枚のガラス板の 隙間を y とすれば 2y です。o から 下面ガラス板での反射した点までを x とおくと x tanθ = y なので、y = xD/L です。

光路差が ちょうど波長の整数倍、λ、2λ… mλ となると強め合う → 明るくなる → 明線が基本です。

本問では「なお…」という部分から反射により 半波長ずれます。これをふまえると、明線ができるのは、光路差 2y が 0.5 λ、1.5λ… (m + 1/2) λ となる所です。 O から数えて 2 番目の明線と O との距離は、光路差 2y = 1.5λ となる所です。

2y = 2xD/L = 1.5λ を x について解けば
x = 0.75 × Lλ/D です。0.75 = 3/4 です。

以上より、正解は 2 です。

類題 国家一般職 化学 H30 no7
https://yaku-tik.com/koumuin/h30-kagaku-07/

図のように、正方形 PQRS の三つの頂点 Q、R、S に、 3 本の十分に長い直線導線を正方形に対して垂直に配置し、Q、S を通る導線に、紙面の表から裏の向きにそれぞれ大きさ I 、2I の電流を、R を通る導線に、紙面の裏から表の向きに大きさ 2I の電流を流した。

このとき、図中の矢印 ㋐ ～ ㋔ のうち、 3 本の導線に流れる電流によって P に生じる磁界の向きを表すものとして最も妥当なのはどれか。

1．㋐
2．㋑
3．㋒
4．㋓
5．㋔ 

　解 説　　　　　

直線電流が作る磁界と来たら「アンペールの法則」です。距離 r 離れたら H = I/2πr です。ちなみに、本問では使いませんが、円電流が出てきて、中心の磁界と来たら「ビオ・サバールの法則」です。H = I/2r を思い出します。

正方形の一辺を r とします。
点 Q,S までの距離は r
点 R までの距離は √2r です。

・電流 Q により
大きさ I/2πr、向き 「→」…(1)

・電流 S により
大きさ 2I/2πr、向き「↑」…(2)  の磁界が発生します。

※向きは右ねじの法則からわかります。右手親指を電流の向きに合わせた時に、残り 4 本の指の流れが磁界の向きと対応します。

・電流 R により
大きさ 2I/(2π × √2r)、向き「↙️」の磁界が発生します。斜めだとわかりにくいので、真左と真下に分解するとよいです。

大きさ I/2πr、向き 「←」…(3) と
大きさ I/2πr、向き 「↓」…(4) に分解できます。

(1) ~ (4) のベクトル和を考えれば
↑ 方向だけ残ります。㋑ が妥当です。

以上より、正解は 2 です。