はいくらか。ただし，i を虚数単位とする。

　解 説　　　　　

(cos θ + isin θ)ⁿ の形が見えるので ド・モアブルの定理 を思い出します。

まず、分子の ◯ 乗 部分を、ド・モアブルの定理で
(cos 4α + isin 4α)(cos 9α + isin 9α) となおせます。

それぞれの項を改めて (cos θ + isin θ)ⁿ　の形になおせば
(cos α + isin α)⁴(cos α + isin α)⁹
=(cos α + isin α)¹³　と、分子をすっきりさせることができます。

与えられた式は
分子が (cos α + isin α)¹³
分母が  cos α + isin α　なので、約分すれば
(cos α + isin α)¹² です。

ド・モアブルの定理で
cos 12α + isin 12α　と表せます。

α = π/12 なので、12α = π です。π は 180° のことです。
cos 180° = -1、sin 180° = 0 は基礎知識です。

従って
求める値は -1 ＋ 0 = -1 です。 

以上より、正解は 1 です。

類題 R1 no1 
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-r1-01/

図のように、真空中に、容器内の領域Ⅰ及び容器外の領域Ⅱがあり、容器の小孔 O を原点とし、小孔 P が y 軸上にあるように xy 座標をとる。領域Ⅰには x 軸の負の向きに大きさ E の一様な電界と、紙面の裏から表の向きに磁束密度の大きさ B の一様な磁界があり、領域Ⅱには領域Ⅰと同じ磁界のみがある。

いま、電気量 q（q > 0）、質量 m の荷電粒子が、ある速さ v で y 軸の正の向きに小孔 P から領域Ⅰに進入したところ、荷電粒子は y 軸に沿って直進して小孔 O を通過した後、x 軸上の点 Q に到達した。このとき、v と点 Q の x 座標の組合せとして最も妥当なのはどれか。ただし、重力の影響は無視できるものとする。

　解 説　　　　　

全く手がつけられなくても、具体的に考えて選択肢を 1 つでも消しましょう。本問では B が大きければ、穴を出た瞬間に強く曲がるため「B が大きいほど x が小さくなる」選択肢が答えと推測されます。つまり、正解は 4 or 5 です。ぜひ、この 2 択まで持っていきましょう。

ーーー
「磁界から電荷（荷電粒子）が受ける力」ときたら、ローレンツ力の公式　f = qvB…(1) です。また、一様な電界から 荷電粒子が受ける力は F = qE…(2) です。(1) と (2) が釣り合うから、領域Ⅰでは真っすぐ進んでいます。従って qvB = qE ∴ v = E/B です。正解は 3 ~ 5 です。

領域Ⅱでは、半径 x/2 の等速円運動をしています。領域Ⅱでは、ローレンツ力のみを受けるため、これが遠心力と等しくなります。

等速円運動の遠心力公式：F = mv²/r より
qvB = mv²/(x/2) です。x について解けば

x = 2mv/qB です。ここで先程もとめた v = E/B を代入すれば
x = 2mE/qB² となります。

以上より、正解は 5 です。

図のように、3.00 L の容器A と5.00 L の容器B がコックの付いた細管で連結されている。

コックを開けた状態で、一定温度で 0.800 mol の理想気体を満たし、コックを閉じた。容器A 内の気体については 300 K、 容器 B 内の気体については 500 K に保ち、その後、コックを開けたところ、容器A 及びB 内の気体の温度は変化せず、気体の圧力が一定となった。

このとき、コックを開ける操作前後での容器 A 内の気体の物質量変化に関する記述として最も妥当なのはどれか。ただし、容器の熱膨張及び細管の容積は無視できるものとする。

1． 0.200 mol 減少
2． 0.100 mol 減少
3． 変化なし
4． 0.100 mol 増加
5． 0.200 mol 増加

　解 説　　　　　

理想気体なので、状態方程式 pv = nRT を思い出します。n = pv/RT です。

まず、コックを開けた 状態で 0.800 mol の理想気体を満たし、コックを閉じた所では、p,T は容器 A,B で違いがありません。つまり v の比率がそのまま物質量の比率となります。容器 A の体積：容器 B の体積 = 3：5 なので、0.8 mol が 3：5 で分配されます。つまり、容器 A に 0.3 mol、容器 B に 0.5 mol 気体があります。

次に、温度がそれぞれ 300K、500K とした後、コックを開けます。圧力は一定になったということなので、各容器の気体に共通の圧力を P とします。

容器 A に注目すると
n_A = (P × 3)/R × 300…(1) です。 

容器 B に注目すると
n_B = (P × 5)/R × 500…(2) です。

(1) と (2) の右辺は約分すると　等しくなります。つまり、n_A = n_B です。n_A + n_B = 0.800 mol なので、n_A = 0.4 mol とわかります。

容器 A 内の気体の物質量は
0.3 mol → 0.4 mol なので「0.100 mol 増加」です。

以上より、正解は 4 です。

類題 H30 no3
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-30-03/

塩化ナトリウムの結晶は、図のような結晶構造をもつ。単位格子の一辺の長さを 5.64 × 10^-10 m、ナトリウムイオンのイオン半径を 1.16 × 10^-10 m としたとき、塩化物イオンのイオン半径はおよそいくらか。

ただし、ナトリウムイオン及び塩化物イオンはそれぞれ球体とみなし、最も近いイオンどうしは接しているものとする。

1． 1.66 × 10^-10 m
2． 1.99 × 10^-10 m
3． 2.24 × 10^-10 m
4． 2.44 × 10^-10 m
5． 4.48 × 10^-10 m

　解 説　　　　　

単位格子を上から見ると、以下のように表せます。

ナトリウムイオンのイオン半径を r_Na、塩化物イオンのイオン半径を r_Cl とおけば、上から見た図より 2 × (r_Na + r_Cl) = 5.64 × 10^-10 です。

問題文より
r_Na = 1.16 × 10^-10 なので
r_Cl = 1.66 × 10^-10 です。

以上より、正解は 1 です。

分子式 C₅H₁₂O で表されるアルコールの構造異性体のうち、不斉炭素原子をもつアルコールは何種類あるか。

1． 1 種類
2． 2 種類
3． 3 種類
4． 4 種類
5． 5 種類

　解 説　　　　　

分子式 C₅H₁₂O で表されるアルコールをまず全て考えます。

１：主鎖をまっすぐ伸ばしたもの
２：１つだけ枝分かれしたもの
３：ジメチル

の３パターンに主鎖を分類し、それぞれに OH 基をつけていくと、以下 8 種類になります。

炭素原子に異なる 4 つの原子団がくっつくことになるのは、赤い矢印部分に OH がついた時です。それぞれ、2 – ペンタノール、2 – メチル – 1 – ブタノール、3 – メチル – 2 – ブタノールです。

以上より、正解は 3 です。

1． 37.2 時間
2． 49.6 時間
3． 74.4 時間
4． 99.2 時間
5． 186 時間

　解 説　　　　　

もともと カリウムが 16 個あったと考えればわかりやすいと思います。

12.4 時間たつごとに 16 → 8 → 4 → 2 → 1・・・と減っていきます。この時、1 個のカリウムが 1 個のカルシウムになっているので、カルシウムの数は 0 → 8 → 12 → 14 → 15・・・です。

比が 1：15 になるのは、4 半減期過ぎた時です。12.4 × 4 = 49.6 時間と考えられます。

以上より、正解は 2 です。

次のうち、交感神経系が活性化したときの効果器の反応として最も妥当なのはどれか。

1．気管支の収縮
2．立毛筋の収縮
3．心臓の拍動の抑制
4．瞳孔の縮小
5．汗腺からの分泌の減少

　解 説　　　　　

交感神経活性化なので、敵と出会った時の反応をイメージします。

息は荒くなるので
気管支は空気を取り込もうと拡張します。

毛は逆立ちます。
これは「立毛筋の収縮」に対応します。

鼓動は速くなり、目は見開きます。

体温が上がり、汗が出てきます。

以上より、正解は 2 です。

クロレラの培養液に光を当てながら ¹⁴CO₂ を加え、一定時間ごとに光合成産物を抽出し、¹⁴C がどのような化合物に分布するかを調べたところ、図のようになった。

図中の曲線 ㋐、㋑、㋒ が、光合成産物への ¹⁴C の分布の経時変化を表しているとき、㋐、㋑、㋒ の組合せとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

光合成は、炭素数 1 の CO₂ を原料に、炭素数が大きな有機物を段階的に合成していく反応です。そのため、炭素数が大きい物質ほど、¹⁴C の分布のピークが後になると考えられます。また、スクロースは炭素数 12 の化合物です。

従って
㋐ が炭素数 3 の化合物
㋑ が炭素数 6 の化合物
㋒ がスクロース　です。

以上より、正解は 1 です。

図は、ヒトのヘモグロビンの酸素解離曲線である。肺胞での二酸化炭素分圧が 40 mmHg，酸素分圧が 100 mmHg，組織での二酸化炭素分圧が 70 mmHg，酸素分圧が 30 mmHg であるとき，肺胞中の酸素ヘモグロビン (HbO₂) が組織で解離する割合はおよそいくらか。

1． 35 ％
2． 37 ％
3． 65 ％
4． 68 ％
5． 70 ％

　解 説　　　　　

肺胞では「CO₂ 分圧 40mmHg、O₂ 分圧 100 mmHg」 なので、表より 95% が HbO₂ です。これは Hb が 100 個あったとしたら、酸素を 95 個が持っていて HbO₂ として存在しているということです。

一方、組織では「CO₂ 分圧 70mmHg、O₂ 分圧 30 mmHg」 なので、表より 30% が HbO₂ です。Hb が 100 個あったとしたら、酸素を 30 個持っていて HbO₂ として存在しているということです。

すると 肺胞では 95 個酸素を持っていて、組織に行ったら 95 – 30 = 65 個が乖離したということです。すると「乖離する割合」は 65/95 です。大体 68% となります。

以上より、正解は 4 です。

類題 H30 no8 ヘモグロビンとミオグロビン
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-30-08/

水質汚濁に関する記述 ㋐ ～ ㋓ のうち、妥当なもののみを全て挙げているのはどれか。

㋐ BOD (生化学的酸素要求量) の値が大きいほど有機物の量が少ないことを示す。

㋑ 富栄養化した河川や湖沼では、窒素やリンを含む栄養塩類が増加している。

㋒ 富栄養化した海水域では、動物プランクトンが異常発生し、水が色付く水の華 (アオコ) が発生することがある。

㋓ プランクトンが大量に死滅すると、その分解過程で大量の一酸化炭素が発生し、魚などの大量死を引き起こすことがある。

1．㋐
2．㋐、㋒
3．㋑
4．㋑、㋓
5．㋒、㋓ 

　解 説　　　　　

㋐ ですが
BOD 及び COD は、水中に含まれる有機物などの被酸化物を、それぞれ生物化学的及び化学的に酸化分解するときに消費される酸素量です。BOD が大きければ、有機物の量が多いことを示します。㋐ は誤りです。

㋑ は妥当です。
富栄養化についての記述です。

㋒ ですが
富栄養化した海水域で異常発生するのは「植物プランクトン」です。「動物プランクトン」ではありません。㋒ は誤りです。

㋓ ですが
プランクトンが大量に死滅すると、その分解過程で大量の二酸化炭素などが発生します。「一酸化炭素」ではありません。㋓ は誤りです。

以上より、正解は 3 です。

類題 H26 no6 COD
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-26-06/