1 モルの気体について、ファンデルワールスの状態方程式は

で表される。

ここで、p は圧力、v はモル体積、T は絶対温度、R は気体定数、a 及びb はファンデルワールス係数である。a、b、R、T を用いて、次のビリアル方程式

　（B、Cはそれぞれ第2 及び第 3 ビリアル係数）

の B を表したとき、B として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

1 回解いたことがないと式変形が浮かばない問題です。

1 モルの気体に関する ファンデルワールスの状態方程式を p = … の形に変形します。 p = RT/(v-b) -a/v²…(1)

ビリアル方程式の 左辺 pv の p に (1) を代入します。
pv = v(RT/(v-b) -a/v²)…(2) です。

後は係数合わせなのですが、ビリアル方程式の右辺は、 (　) の中身が ＋… と無限級数の形をしています。そこで 無限等比級数の和の公式 1/(1-r) を活用します。以下のような式変形を、(2) に対して行います。

B は 1/v の係数　なので
「無限等比級数の和の中の b/V」 と、「‐a/V × 1/RT」の部分が、B に関係のある項です。1/V でくくれば b – a/RT です。

従って
B = b -a/RT とわかります。

以上より、正解は 2 です。

類題 国家一般職 H26 no10
https://yaku-tik.com/koumuin/h26-kagaku-10/

原子軌道とそのエネルギーに関する次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「シュレーディンガー方程式を解いて得られる水素原子の主量子数 n=3、方位量子数 l =1 の軌道のエネルギー E_3.1 と n = 3、l = 2 の軌道のエネルギー E_3.2 との間には、 ㋐ の関係が成り立つ。水素原子の考えを多電子系へ拡張することによって多電子原子の電子状態も考えることができる。

例えば、炭素原子の 6 個の電子は、n = 1 の原子軌道に 2 個、n = 2 の原子軌道に 4 個入る。炭素原子の n = 2、l = 0 の軌道のエネルギー E_2.0 と n = 2、l = 1 の軌道のエネルギーE_2.1 との間には、 ㋑ の関係が成り立つ。」

　解 説　　　　　

水素原子、つまり電子 1 個の範囲では、主量子数が同じならば エネルギーは同じです。従って、E_3.1 = E_3.2 です。正解は 3 or 4 です。

 n = 2、l = 0 とは 2s 軌道、n = 2、l = 1 とは 2p 軌道です。多電子系において、エネルギーが低い順に 2s、2p なので E_2.0 < E_2.1 です。

以上より、正解は 4 です。

分子振動に関する次の記述の ㋐、㋑、㋒ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「水素 H₂、ヨウ素 I₂、ヨウ化水素 HI の混合気体について、赤外吸収スペクトルを測定したところ、2300 cm^-1 の位置に吸収が観測された。また、波長 500 nm の光を用いて振動ラマンスペクトルを測定したところ、505 nm、565 nm、640 nm に強いストークス光が観測された。

これらのことから、分子振動の振動数について、H₂ はおよそ ㋐ Hz、I₂ はおよそ ㋑ Hz、HI はおよそ ㋒ Hz であることが分かる。ただし、吸収や散乱に関与する物質は、H₂、I₂、HI のいずれかであるとし、真空中の光速を 3.0 × 10⁸ m・s^-1 とする。」

　解 説　　　　　

二原子分子の振動数について問われています。

赤外吸収スペクトル測定法では、分子を構成する原子核間の「振動」状態の変化に伴い光を吸収する現象を利用しています。「双極子モーメント」の変化を伴う振動変化を検出します。いいかえると、双極子モーメントが変化しないような振動については検出できません。従って、「N₂」 のような等核二原子分子の振動などは吸収されません。これは基礎知識です。

等核二原子分子の振動では吸収が見られないのだから、本問で吸収が見られた「2300 cm^-1」の吸収は HI 由来です。

波の基本式 v = fλ より、f = v/λ です。まず、波数から λ を出します。1 cm = 10^-2 m です。
1 波が 1/2300 × 10^-2 m なので
λ = 1/2.3 × 10^-3 × 10^-2
= 1/2.3 × 10^-5 m　とわかります。

v = 3.0 × 10⁸ を代入して
f = 3.0 × 10⁸/(1/2.3 × 10^-5)
= 6.9 × 10¹³ です。これは HI の振動数となります。正解は 1 or 4 です。

後は H₂ が、換算質量小さいので、振動数は大きいだろうという判断でよいのではないでしょうか。㋐ の方が大きくなっている選択肢を選べば、㋐ は 1.3 × 10¹⁴ です。

以上より、正解は 4 です。

アルミニウムに関する次の記述の㋐，㋑，㋒に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。ただし，ファラデー定数を 9.65 × 10⁴ C・mol^-1，アルミニウムの原子量を 27.0 とする。

「アルミニウムの単体は，アルミニウムイオンを溶解した水溶液を電気分解しても得ることはできず，酸化アルミニウムなどを高温にして融解させた溶液を電気分解する必要がある。しかし，酸化アルミニウムの融点は 2000 ℃ 以上と非常に高温なので純粋な酸化アルミニウムの電気分解は現実的ではない。

ホール･エルー法では，酸化アルミニウムと ㋐ の溶融混合物を電気分解する。この電気分解では， ㋑ からアルミニウムが得られる。また，10 A の電流を 1 時間流すと，およそ ㋒ g のアルミニウムが得られる。」

　解 説　　　　　

㋐ ですが
氷晶石 Na₃AlF₆ です。正解は 1 ~ 3 です。

㋑ ですが
Al³⁺ + 3e^– → Al で得られます。本問では「電気分解」の話なので、電子を得るのは「カソード」です。これで ㋒ は 3.4 とわかります。

以上より、正解は 3 です。

類題 R1no26 電気分解
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-r1-26/

主曲率半径 r₁、r₂ により定義される曲面をもつ界面内外の圧力差 ΔP は、界面張力を γ として、次の Young ‒ Laplace の式で表される。

図のように、液体中に深く挿入した半径 r の円形断面をもつ毛細管に気体を吹き込んで気泡を形成させることを考える。気泡半径を R としたとき、図中の ㋐、㋑、㋒ のそれぞれの段階において気泡成長時間と気泡内圧力との関係を定性的に表したものとして最も妥当なのはどれか。

ただし、気泡表面は球面とし、液面から毛細管先端までの距離 h は、r、R と比べ、十分に大きいものとする。また、気体の密度は、液体の密度と比べ無視できるものとする。

　解 説　　　　　

曲率半径のイメージは
曲線を強引に円弧の一部としてみた時の円の半径です。

主曲率半径 r₁、r₂ は ㋑ 以前では 符号が 正、㋑ 以降では 符号が負となります。符号は知識として見たことがないとピンとこないと思われます。

そのため
気泡内圧力は 問題文の Young – Laplace の式より ㋑ > ㋒ とわかります。選択肢 2,3,5 は誤りです。

また、㋐ と ㋑ について
主曲率半径 r₁,r₂ が ㋐ の方が大きくなります。そのため、ΔP が小さくなります。従って、気泡内圧力は ㋐ < ㋑ です。選択肢 4 は誤りです。

以上より、正解は 1 です。

単体の金属の結晶格子に関する記述 ㋐ ～ ㋓ のうち、妥当なもののみを挙げているのはどれか。

㋐　原子を剛体球として考えた場合、体心立方格子における原子の空間充填率は、およそ68 ％である。

㋑　面心立方格子には、八面体間隙と六面体間隙の 2 種類があり、六方最密構造には、八面体間隙と四面体間隙の 2 種類がある。

㋒　面心立方格子及び六方最密構造において、各原子はそれぞれ 12 個の原子に配位されている。

㋓　面心立方格子と六方最密構造の違いは、平面上に最密充填した原子の積み重ね方のみであり、幾何学的には同じ構造である。

1．㋐、㋑
2．㋐、㋒
3．㋑、㋒
4．㋑、㋓
5．㋒、㋓ 

　解 説　　　　　

㋐ は妥当です。
ちなみに、最密構造である面心立方格子は 約 74% です。

㋑ ですが
結晶格子の中で、4 つの原子に囲まれている隙間を四面体間隙といいます。6 つの原子に囲まれている隙間を八面体間隙といいます。六面体間隙ではありません。㋑ は誤りです。

㋒ は妥当です。
配位数　共に 12 です。

㋓ ですが
面心立方格子と六方最密構造は、同じ構造ではありません。㋓ は誤りです。

以上より、正解は 2 です。

類題 R1no28 結晶構造
https://yaku-tik.com/yakugaku/km-r1-28/