はいくらか。

1.　ー√3/2
2.　ー1/2
3.　０
4.　1/2
5.　√3/2

　解 説　　　　　

大きな数が出てきたら、具体的に 0,±1 などから値を求め、規則性がないかを考えます。

n = 1 までの和であれば、sin (2π/3) = √3/2 です。
n = 2 までの和であれば、sin(2π/3) + sin (4π/3) = √3/2 ー √3/2 = 0 です。
n = 3 までの和であれば、sin(2π/3) + sin(4π/3) + sin(8π/3) = √3/2 ー √3/2 + √3/2 = √3/2 です。
n = 4 までの和であれば、√3/2 + sin(16π/3) = √3/2 ー √3/2 = 0 です。

どうも n が奇数なら、結局和が √3/2、偶数であれば 0 になるようです。2019 は奇数なので、√3/2 と考えられます。

以上より、正解は 5 です。

図のように、底面の直径が 2 で長さが十分に長い二つの直円柱を、それらの中心軸が直交するように配置した。このとき、二つの直円柱の共通部分の体積はいくらか。

　解 説　　　　　

なつかしー！解いたことあるー、という人もいるかもしれませんが、切断して積分とかしてると時間足りない、久しぶりで計算ミスしてあわない、といった可能性が高いです。選択肢が、そこそこ間があいている数が並んでいるため、大雑把な体積評価がよいと思われます。

求めたい体積は「直径２の球より少し大きそう」です。直径２の球＝半径１の球なので、体積は 4π/3 です。π は 3 より少し大きいので、半径１の球の体積は、4 より少し大きいとわかります。それよりもさらに少し大きいため、４～６程度と評価できます。

選択肢 1 ~ 3 は、値が 4 以下なので、誤りと考えられます。
※√2 ≒ 1.4 なので、8√2/3 ≒ 11.2/3 < 12/3 です。12/3 = 4 です。

選択肢 5 ですが
16√2/3 ≒ 22.4/3 となり、7 よりも大きい値です。少し大きすぎではないかと考えられます。

以上より、正解は 4 です。

配列要素a[1]、a[2]、…、a[N]（N≧ 2）から成る配列a が定義され、それぞれの配列要素に整数データが入っている。

図は、このN 個のデータについて、最後の配列要素内のデータから隣接する配列要素内のデータ（a[N] とa[N -1]、a[N -1]とa[N- 2]、…）の大小を順番に比べていき、データが降順（大きいものから小さいものの順）になっていなければそれらのデータを入れ替える処理を繰り返すことで、配列要素内の全てのデータを降順に並べ替えるフローチャートである。

ここで、swap（a[ j- 1]、a[ j ]）は、二つの配列要素a[ j – 1]、a[ j ] 内のデータを入れ替える操作を表している。例えば、a[ j-1]=1、a[ j ]= 2 に対してswap（a[ j- 1]、a[ j ]）を実行すれば、a[ j-1]=2、a[ j ]=1 となる。

図の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのは次のうちではどれか。

　　㋐　㋑
1．j ← N　　　i ≧ N- 1
2．j ← N　　　i < N
3．j ← N +1　i ≧ N-1
4．j ← N +1　i < N- 1
5．j ← N +1　i < N

　解 説　　　　　

具体的で簡単な配列を考え、各選択肢を判断するとよいです。
一例として、a[1] = 1, a[2] = 2 を考えます。チャートを読み終わった時に、データが降順、つまり、a[1] = 2, a[2] = 1 となっていればよいとわかります。

㋐ の所までチャートを読んでいくと

(i,N) = (1,2) の状態で、㋐ になります。 j ← N が正解と仮定すると
(i,j,N) = (1,2,2)
(i,j,N) = (1,1,2) となって、条件 a[1] > a[0] となりますが、a[0] は存在しません。

従って、㋐ は j ← N + 1 とわかります。正解は 3 ~ 5 です。

j ← N + 1 として、続きを読んでいきます。
(i,j,N) = (1,2,2) で、a[2] > a[1] は yes です。swap(a[1],a[2]) で、値は降順となりました。これでチャートをあっさり終われれば OK です。

次の条件分岐は j-1 が１，i も１　なので yes です。

そして ㋑ となります。
i = 1, N = 2 なので、ここで yes になるのは、i ≧ N-1 だけです。

以上より、正解は 3 です。 

図のように、滑らかな水平面上において、質量 m の小球 A を、静止している質量 M の小球 B に速さ v で衝突させたところ、A の速さは V、B の速さは 2V となり、A とB は互いに垂直な方向に運動した。このとき、二つの小球の質量の比 M/m はおよそいくらか。ただし、A とB の衝突は弾性衝突とする。

1.　1/2
2.　1
3.　√2
4.　3/2
5.　2

　解 説　　　　　

衝突なので、運動量保存則を思い出します。運動量とは、質量×速度のことです。縦方向、横方向それぞれで保存されます。衝突前の A の進んでいる方向と真横のなす角を θ とします。

また「弾性衝突」というキーワードがあるため、運動エネルギーも衝突の前後で保存されます。運動エネルギーは mv²/2 です。

運動量保存（縦）より
mvsinθ = mV ∴vsinθ = V ・・・（１）です。

運動量保存（横）より
mvcosθ = 2MV です。求めたいのが M/m なので、両辺を m で割ってみて、（１）代入すると
M/m = cosθ/2sinθ と表すことができます。

一方、運動エネルギー保存から
mv²/2 = mV²/2 + M(2V)²/2　です。やはり m で両辺を割ってみて、2 を両辺にかけると
v² = V² + M/m × (4V²) となります。（１）を代入すれば

M/m = (1-sin²θ)/4sin²θ です。ここで、1-sin²θ = cos²θ です。

以上より
M/m は、2 乗しても値が変わらないとわかります。
※(cosθ/2sinθ)² = cos²θ/4sin²θ　です。

２乗しても値が変わらない値を探します。
選択肢 より、正解は 2 です。  

虹に関する次の記述の㋐、㋑、㋒に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「虹は、雨が降った後など空気中に広く水滴があるときに、太陽を背にすると見えることがある。その原理について、図Ⅰ、Ⅱのような完全な球とみなせる水滴に、ある波長 λ の可視光が空気中から入射するモデルを用いて考える。ただし、可視光の経路は全て同一平面内にあるものとする。

図Ⅰのように、ある波長 λ の可視光が空気中から水滴に、点A において入射角 i で入射したとき、入射した光は屈折角 θ の方向に屈折し、点 B で一部が反射する。反射した光は点 C で再び屈折し、空気中に出る。水滴に入射した光と、空気中に出てきた光のなす角 Φ を、i、θ を用いて表すと ㋐ となる。

太陽を背にした観測者からは、空気中に広くある水滴から出てくる光が円弧状に見える。また、入射する光の波長が短いほど、水滴の屈折率は大きくなる。そのため、様々な波長の光から構成される太陽光は水滴内で分散し、波長が λ よりも短い光は図Ⅱ中の ㋑ 側の進路をとる。よって、紫色は、赤色よりも虹の円弧の ㋒ に見える。」

㋐　㋑　㋒
1． 4θ – 2i　a　内側
2． 4θ – 2i　a　外側
3． 4θ – 2i　b　外側
4． 2θ – i　  a　内側
5． 2θ – i　  b　外側

　解 説　　　　　

㋐ ですが、まず、入射角と屈折角の差 i – θ が上図の赤で示した角の部分です。

次に、円の接線に対する垂線を延長し、中心と B を結んだ補助線を引きます。「円が出てきたら中心と特徴的な点をつないでみよう」という試験全般の戦術になります。

角Φのある点を、そのままΦと呼びます。四角形 AΦCB に注目します。

対称性から、∠A = ∠C = i – θ です。また、∠B は 2θ です。四角形の内角の和が 360° なので

(360 – 2θ) + (i – θ) + (i – θ) + Φ = 360　です。
∴ Φ = 4θ – 2i です。正解は 1 ~ 3 です。

図 Ⅰ が波長 λ の場合のモデルです。波長が短いほど屈折率が大きくなるのだから、よりぐいっと曲がっている方ということです。㋑ は a とわかります。正解は 1 or 2 です。

㋒ は、見たことのある虹を思い出してもよいかもしれません。内側が紫です。

以上より、正解は 1 です。

図Ⅰ、Ⅱのような回路で、それぞれの電圧計の読みが 1 V となるように直流電源 1 、2 の電圧を設定したところ、電流計の読みはいずれも 1 A となった。このとき、抵抗 1 の抵抗値R₁〔Ω〕、抵抗 2 の抵抗値 R₂〔Ω〕及び 1 Ω の大小関係として最も妥当なのはどれか。ただし、電流計と電圧計は有限の内部抵抗をもつものとする。

1． R₁ = R₂ = 1
2． R₁ < 1 < R₂
3． 1 < R₁ < R₂
4． R₂ < R₁ < 1
5． R₂ < 1 < R₁

　解 説　　　　　

図Ⅰに注目します。抵抗Ⅰにかかる電圧は 1 V です。

1A の電流が、電圧計の方と、抵抗Ⅰの方に分かれるので、抵抗Ⅰに流れる電流は 1A 未満です。オームの法則 V = RI より、R = V/I です。V = 1 で、I が 1 未満なので、R は 1 よりも大きいとわかります。正解は 3 or 5 です。

図Ⅱに注目します。

抵抗２に流れる電流が 1A です。抵抗 2 にかかる電圧は 電流計における電圧降下があるため、1V 未満です。オームの法則 V = RI より、R = V/I です。V が 1 未満 で、I が 1 なので、R は 1 よりも小さいとわかります。

以上より、正解は 5 です。