3 乗すると 16 +16i になる複素数を z とするとき z・z の値はいくらか。
ただし、i は虚数単位，z は z と共役な複素数とする。

1． 8
2． 9
3． 10
4． 11
5． 12

　解 説　　　　　

z³ = 16+16i です。複素数で何乗ときたら、極形式表現で考えます。極形式表現とは、複素数を r (cosθ + isinθ）という形で表すことです。この形にすると、複素数同士の掛け算は、r の部分を書けて、θ の部分を足せば OK となります。
例）2(cos30° + isin30°）× 3(cos45° + isin45°)
= 2×3 (cos 75° + isin 75°）です。 

共役な複素数は、虚部の符号がマイナスになったということなので、ある複素数が r (cosθ + isinθ）であれば、r(cos(-θ) + isin(-θ)) と表されます。

重要な知識がド・モアブルの定理です。
(cosθ + isinθ）ⁿ = cos nθ + isin nθ という恒等式です。これらをふまえ、本問を考えます。

z³ = 16(1+i) ← ひとまず 共通因数 16 でくくっている。
=16√2(1/√2 + i/√2)  ← ( ) の中身を cos,sin になるようにしている。
=16√2(cos 45° + sin 45°)

となります。

「3 乗したら 16√2 になる数」というのが少し表しにくいので、16√2 = 2⁴ × 2^1/2 = 2^9/2 と表します。こうすることで「3 乗したら 2^9/2 → 2^3/2」です。

従って
z = 2^3/2 (cos 15° + isin 15°） です。
また、z = 2^3/2 (cos (-15°) + isin (-15°)） です。

z・z = (2^3/2)² (cos 0° + isin 0°）
=2³ × 1 
= 8 となります。

以上より、正解は 1 です。 

図のように、真空中に 2 枚の平行電極板を置き、直流電源につないだ。陽子が電極板に平行に飛んできてその間を通過したとき、図の ㋒ の軌道を描いた。同じ速度でヘリウムイオン He⁺ 及び中性子が飛んできた場合の軌道を、図の㋐～㋓のうちからそれぞれ選び出したものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

ただし、電極板の間には一様な電場が生じており、重力の影響は無視できるものとする。また、図の ㋐ の軌道は粒子が直進した場合の軌道を表している。

He⁺ 中性子
1． ㋑　㋐
2． ㋑　㋒
3． ㋒　㋐
4． ㋒　㋒
5． ㋓　㋐

　解 説　　　　　

He⁺ と 陽子 H⁺ の違いは、原子核の重さです。He⁺ の方がより重たいため、曲がりにくいと考えられます。そのため、He⁺ の軌道は ㋑ です。正解は 1 or 2 です。

中性子は電荷を有しないため、曲がりません。軌道は ㋐ です。

以上より、正解は 1 です。

図のように、次の方法 A、B により湯を冷却することを考える。

方法A： 　二つのコップに90 ℃ の湯を 100mL ずつ入れ、コップと湯の温度が同じ温度 T_A1 になったところで、一方のコップの湯を他方のコップに全量移す。以上の方法で冷却された湯の温度を T_A2 とする。

方法B： 　一つのコップに 90 ℃ の湯 200 mLを入れ、コップと湯の温度が同じ温度 T_B1 になったところで、もう一つのコップに湯を全量移す。以上の方法で冷却された湯の温度を T_B2 とする。

このときの T_A1 と T_B1 及び T_A2 と T_B2 の大小関係に関する次の記述の ㋐、㋑に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。ただし、全てのコップは、初め室温であり、それらの熱容量は等しいものとする。また、これらの過程において、湯とコップはすぐに同じ温度になり、コップ以外への熱の流出は無視できるものとする。

「T_A1 ㋐ T_B1 であり、T_A2 ㋑ T_B2 である。」

　　㋐　㋑
1．＜　＜
2．＜　＞
3．=　＞
4．=　＜
5．＞　=

　解 説　　　　　

方法 B の方が、初めに一つのコップに熱いお湯がいっぱい注がれるから、落ち着く温度は高い。つまり T_A1 < T_B1 とわかります。正解は 1 or 2 です。

次に T_A2 と T_B2 の大小関係ですが
この問題でやっていることは結局の所、室温を基準温度とし、『90℃ の湯 200mL が持つ熱量をコップと分配している』といえます。そして、湯とコップの持つ熱量を合わせた「総熱量」は変化しません。

方法 A の時に最後に空になっているコップの温度は T_A1 です。一方、方法 B の時に 最後に空になっているコップの温度は T_B1 です。温度が T_B1 の方が高いのだから、空のコップに多く熱量があるとわかります。

総熱量が一定なので、方法 B で湯を冷却すると、最終的に湯が入っている側の熱量は、相対的に方法 A より少ないです。従って、T_B2 の方が、T_A2 よりも温度は低いとわかります。

以上より、正解は 2 です。

0.80 mol・L^-1 のアンモニア水の pH はおよそいくらか。

ただし、log₁₀2 =0.30、log₁₀3 = 0.48、アンモニアの電離定数は 1.8 × 10^-5 mol・L^-1 、水
のイオン積は 1.0 × 10^-14 mol²・L^-2 とし、アンモニアの電離度は 1 に比べて十分に小さいとする。

1． 10.6
2． 11.1
3． 11.6
4． 12.1
5． 12.6

　解 説　　　　　

弱酸 HA の電離による pH、弱塩基 B の電離による pH、弱酸と強塩基から生じた塩のpH、強酸と弱塩基から生じた塩の pHの ４ パターンについては、公式を覚えて対応するのがよいと思われます。

・弱酸 HA の電離による pH→［H⁺］＝√（Ka・C）
・弱塩基 B の電離による pH→［OH^ー］＝√（Kb・C）なので、［H⁺］＝Kw／√（Kb・C）
・弱酸と強塩基から生じた塩のpH→ 弱塩基による電離と同じ。
・強酸と弱塩基から生じた塩のpH→ 弱酸による電離と同じ。 　となります。
※ 大前提となるのは Ka・Kb = Kw です。Kw とは、水のイオン積のことです。また、pH のように小文字の p を付けるのは「ーlog₁₀」という意味です。

本問は「弱塩基 B の電離による pH」のパターンです。
公式に値を代入し、両辺 -log₁₀ をとって計算します。以下のように計算をすすめると

pH = -(-14 -(-2.42))
=14 – 2.42 ≒ 11.6 です。

以上より、正解は 3 です。

類題　薬剤師国家試験 103-96

次のフィッシャー投影式㋐～㋓のうち、図の立体構造式と同じ立体配置を表しているものとして妥当なもののみを全て挙げているのはどれか。

1．㋐、㋑、㋒
2．㋐、㋒
3．㋐、㋓
4．㋑、㋒、㋓
5．㋑、㋓

　解 説　　　　　

フィッシャー投影において、置換基を１回入れ替えると立体が反転です。この規則に基づけば、㋑、㋒、㋓ が同じ立体とわかります。（一般職　化学　H27 no29)

㋑ と ㋒ は「CH₃ ↔ Br、H ↔ Cl」の２回で相互変換。
㋑ と ㋓ は「H ↔ Br、CH₃ ↔ Cl」の 2 回で相互変換。

以上より、正解は 4 です。

図Ⅰ，Ⅱ，Ⅲは，ハロゲン分子（X₂），ハロゲン化水素（HX），ハロゲン化メチル（CH₃X）のいずれかの物質群について，それらを構成するハロゲンX（F，Cl，Br，I）と各物質の 1 気圧における沸点の関係を表したものである。それぞれの物質群の沸点を表している図の組合せとして最も妥当なのはどれか。なお，図中の太線は室温（25 ℃）を示している。

　解 説　　　　　

ハロゲンについて、常温常圧で Br₂ は液体、I₂ は固体です。これは基礎知識です。したがって、この２つの沸点については、室温よりも大きいとわかります。これにより、図Ⅰがハロゲン分子（X₂)です。正解は 1 or 2 です。

ハロゲン化水素について、HF だけ水素結合の影響で高い沸点であることが基礎知識です。これにより、HX を表すのが、図Ⅲです。

以上より、正解は 2 です。

生体を構成する元素に関する次の記述の ㋐～㋓ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「ヒトの生体は主に約20 種類の元素で構成されており、そのうち重量で最も割合が多い元素は㋐である。そのほか、 ㋑は核酸などを構成する元素であり、およそ1 ％ を占める。また、 ㋒はタンパク質には含まれるが、核酸には含まれていない。

このように、核酸に㋑は含まれるが、 ㋒は含まれないという性質を利用して、ハーシーとチェイスにより遺伝子の本体がDNA であることが示された。
また、植物においては、光合成色素のクロロフィル a はその構造の中央に㋓が配位している。」

　㋐　㋑　㋒　㋓
1．炭素　窒素　硫黄　マグネシウム
2．炭素　窒素　リン　カリウム
3．炭素　リン　硫黄　マグネシウム
4．酸素　窒素　リン　カリウム
5．酸素　リン　硫黄　マグネシウム

　解 説　　　　　

㋐ ですが
人体で最も多いのが水（H₂O）だから、質量としては酸素と考えられます。正解は 4 or 5です。

㋑、㋒ ですが
ハーシーとチェイスの実験をふまえると、㋑ が P(リン）、㋒ が S(硫黄）です。

㋓ ですが
クロロフィルの中央金属といえば Mg です。

以上より、正解は 5 です。

同化に関する記述 ㋐、㋑、㋒ のうち妥当なもののみを全て挙げているのはどれか。

㋐　植物による光合成では、植物に取り込まれた二酸化炭素が、光エネルギーにより分解されることで、酸素が発生する。

㋑　光合成の産物である有機物を合成する経路は TCA 回路（クエン酸回路）と呼ばれ、その回路において、還元反応に用いられる補酵素は NAD、FAD である。

㋒　ある種の根粒菌やシアノバクテリアなどは大気中の窒素を体内に取り入れ、これを還元して、アンモニウムイオン（NH₄⁺）に変えることができる。

1．㋐
2．㋐、㋑
3．㋐、㋒
4．㋑、㋒
5．㋒

　解 説　　　　　

㋐ ですが
植物による光合成において、発生する O2 は、光エネルギーで分解される「水」由来です。CO₂ 由来ではありません。よって、㋐ は誤りです。これにより、正解は 4 or 5 です。㋒ は正しいとわかります。

㋑ ですが
TCA 回路（クエン酸回路）は、光合成ではなく、好気呼吸における重要な反応回路です。光合成における有機物合成経路は、カルビン・ベンソン回路です。よって、㋑ は誤りです。

以上より、正解は 5 です。

発生に関する次の記述の㋐～㋓に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「イモリの正常な胚の発生においては、 ㋐から表皮や神経などが分化し、中胚葉の側板からは㋑などが分化する。

図Ⅰのように、ウニの未受精卵を動物極と植物極を通る面で分割し、それぞれを受精させ、発生させると㋒。一方で、図Ⅱのように、赤道面で動物半球と植物半球に分割し、それぞれを受精させ、発生させると㋓。」

　解 説　　　　　

㋐ ですが
表皮や神経は「外胚葉」由来です。原則、外と触れる一番外側が外胚葉由来と考えるとよいかと思います。

㋑ ですが
胃は消化管の一部で「内胚葉」由来となります。側板から分化するのは「心臓」です。

㋒、㋓ ですが
「最初のウニの卵割が縦」であること　及び　「初めの卵割で２細胞になった後に、１つずつを育てると、一卵性双生児のように、２つの完全な幼生ができること」が基礎知識となります。従って、図Ⅰの場合は「正常なプルテウス幼生になった」です。

以上より、正解は 4 です。

遺伝に関する記述㋐、㋑、㋒のうち妥当なもののみを全て挙げているのはどれか。

㋐　多くの被子植物の受精では、花粉管から放出された二つの精細胞のうち、一つは卵細胞と合
体して受精卵となる。もう一つの精細胞は中央細胞と合体し、将来、核相が 3n の胚乳を作る。

㋑　ヒトのゲノムの塩基配列を他人と比較した場合、10 ％ ほどの個人差があり、この違いがヒ
トの形質の違いを生み出している。

㋒　ヒトの ABO 式血液型では、A 型を表す遺伝子を A、B 型を表す遺伝子を B、O 型を表す
遺伝子を O とすると、遺伝子 A と遺伝子 B は、遺伝子 O に対して優性である。

1．㋐
2．㋐、㋑
3．㋐、㋒
4．㋑
5．㋒

　解 説　　　　　

記述 ㋐ は妥当な記述です。
重複受精についての記述です。中央細胞(2n) + 精細胞（n) = 3n です。

記述 ㋑ ですが
ヒトとチンパンジーの配列の違いが１％ぐらいじゃなかったっけ？とすれば、種の差よりも個人差が桁が違うレベルで配列異なるってことはないんじゃないかな・・・？といった推測で判断するといいのではないでしょうか。㋑ は誤りです。

記述 ㋒ は妥当な記述です。
ABO 式において、A,B は O に対し顕性です。（「顕性」「潜性」が推奨表現なので、そちらで記載します。）

以上より、正解は 3 です。