正 3000 角形の頂点の一つを P₁ とし、残りの頂点を P₁ から時計回りの順に P₂、P₃、…、P₃₀₀₀ とする。線分 P₈₄ P₁₄₉₄ と線分 P₉₅₇ P₂₃₂₁ のなす角 θ（0° ≦ θ ≦ 90°）はいくらか。

1． 75°
2． 78°
3． 81°
4． 84°
5． 87°

　解 説　　　　　

いきなり正 3000 角形を考えるとピンとこないので、頂点２つから考えていくとイメージしやすいと思います。

どこかを頂点 P₁ とおき、ちょうど真向かいに注目します。頂点が全部で２個の場合、P₂、頂点の数が奇数の場合は、ちょうど真向かいはなし。全部で４個の場合、P₃ となっています。頂点６個の場合を同様に考えると、真向かいは P₄ です。

規則性を考えれば「頂点の数÷2 + 1」が真向かいです。頂点 3000 個の場合、真向かいは P₁₅₀₁ となります。するとちょうど 4 等分していけば P₁1,P₇₅₁,P₁₅₀₁,P₂₂₅₁ とわかります。これを目安として、求めたい所を図示すると、下図のようになります。

円に適当な 2 本の線分を引いて、交わった所の角を求めるので、以下のように補助線を引き、円周角の和を考えればよいです。

頂点の添字の差が ちょうど 1500 なら 円周角は 90° です。差が 1 なら 3/50 ° となります。P₉₅₇ ～ P₁₄₉₄ を弧とする円周角は 537 × 3/50 です。P₂₃₂₁ ~ P₈₄ までを弧とする円周角は 763 × 3/50 です。（「763」は、2321 ~ 3000 と 1 ~ 84 に分けて考えると求めやすいです。）

求める角度は 3 × (537 + 763)/50 = 78 です。

以上より、正解は 2 です。

定義域が -2 ≦ x ≦ 4 である関数

を最小とする x の値はいくらか。

1．-2
2．-1
3． 0
4． 2
5． 4

　解 説　　　　　

積分される関数の値が、正の間は積分すればどんどん値は大きくなります。負の間はどんどん値が小さくなります。

｜　｜の部分は (t-4)(t+1) と変形できます。従って、t = -1 ~ 4 まで、中身は負です。

t が －２ ～ ー１ までは |　|　の中身が正なので、｜　｜をとってかまいません。すると、積分される関数は「 t² – 2t – 8 」となります。変形すると (t-4)(t+2) です。よって、t が －２ ～ ー１まではずっと負の値をとります。負の値をとる区間を積分していけば、値はどんどん小さくなっていきます。

t が －１～４の範囲で |　| をとってみると、-(t² – 3t – 4) + t – 4 = -t² + 4t です。t(-t+4) と変形できるため t が－１ ～ ０まではずっと負の値をとります。０～ 4 ではずっと正の値をとります。

従って、 x = 0 が最小とわかります。

以上より、正解は 3 です。

袋の中に 3 個の球が入っている。球の色は白色又は黒色であり，球が全て同色である可能性も含めて，白球と黒球の個数のあらゆる組合せが同様に確からしいとする。いま，この袋の中から 1 個の球を取り出し，取り出した球を元に戻さずに，もう 1 個の球を取り出す。最初に取り出した球が白球であった場合に，次に取り出す球も白球である確率はいくらか。

　解 説　　　　　

黒３、黒２白１、黒１白２、白３　のどれであるかはわからない。この状態で袋から１個とりだしたら白だった、となると

１：黒２白１　の状態から、白をとった通りが１通り
２：黒１白２　の状態から、白をとった通りが２通り
３：白３　の状態から、白をとった通りが３通り　考えられます。

パターン１であれば、次に白はありえません。
パターン２であれば、次に白が出る確率は 1/2 です。
パターン３であれば、次に白が出ます。

従って、求める確率は
(1/6 × 0) + (2/6 × 1/2) + (3/6 × 1)
= 4/6
= 2/3 です。

以上より、正解は 4 です。

図のように、滑らかな円筒面、滑らかな水平面、水平面と角 θ（0° < θ < 90°）をなす滑らかな斜面を、それぞれ滑らかにつなげた質量 m の台が、水平で滑らかな床の上に静止した状態で置かれている。

いま、円筒面上の左端 A から質量 m の小物体を静かに放したところ、台が水平方向に滑り出すとともに、小物体は台上を滑り、斜面上の右端 B から飛び出した。なお、台から見ると、小物体は水平面と角 θ をなす向きに B から飛び出すように見える。このとき、B を通過する瞬間の小物体の床に対する水平方向の速さとして最も妥当なのはどれか。

ただし、A、B の水平面からの高さをそれぞれ h、 h/2 、重力加速度の大きさを g とする。また、

台の底面は常に床と接しており、空気の影響は無視できるものとする。

　解 説　　　　　

試験本番では、時間を相当消耗してしまいかねず、できたら避けたい問題という印象です。

本問題では、台も動くという点が特徴です。台の速度も考えると変数が１つ増えて、力学的エネルギー保存則だけでは 球の速さを選択肢のように θ、g、h だけでは表せません。そのため他に式立てれる関係は・・・と考えます。運動量保存則を考えます。

「台から見ると θ 方向に飛び出す」とあるので、「台から見て 速度 v」 で球が B から飛び出したとします。「台から見た水平方向の速さ」は v cos θ です。問われているのは「床に対する速度」です。床から眺めているイメージで見た時、台が動いているため、これを考慮しなければいけません。

球が B から飛び出す時、台が 速度 V で動いているとします。すると、床から見た（要するに、外から眺めてるイメージ）球の水平方向の速さは V + vcosθ となります。

運動量保存則から、A 地点にいる時、球、台共に動いてないから運動量０です。B 地点にいる時、球の運動量は m × (V + vcos θ)、台の運動量は mV です。従って

とわかります。

後は力学的エネルギー保存則で式を立てます。
始めは球の位置エネルギーが mgh、運動エネルギー 0 です。
球が飛び出す時、球の位置エネルギーが mgh/2 です。飛び出す時の垂直方向の速度は vsin θ です。そのため、床から見た球の飛び出す速さの 2 乗が『(V+vcosθ)² + vsinθ²』と表されます。そして、V は先程の運動量保存則から -vcos θ/2 とわかっています。さらに、台の持つ運動エネルギーが mV²/2 です。こちらの V も -vcos θ/2 になります。従って

求めたいのは水平方向 V + vcosθ = vcosθ/2 なので、cosθ/2 をかければ

以上より、正解は 1 です。

図のような波形のパルス波が、x 軸の正の向きに速さ 1 m/s で進み、x =10 m の点 P で固定端反射する。図の波形が観察された時刻から 5 秒後の波形として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

固定端反射なので、作用反作用で位相が逆になります。また、波の重ね合わせを考える必要があります。

変位があるのが x = 4,6,7 の所だけなので、この３点に注目します。以下は解き方の一例です。5 秒後に、x = 4 → 9 についた「-0.1」の変位と、6 → 10（固定端反射）→ 9 の所についた「-0.1」の変位が重なり合います。従って、５秒後に x = 9 の所が -0.2 です。これにより、選択肢 1 ~ 4 は誤りです。

以上より、正解は 5 です。

電気抵抗の温度変化に関する次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「断面積 S、長さ L の円筒形の抵抗について、抵抗率を ρ とすると、抵抗値は ㋐ と表せる。また、ρ は、温度 T〔℃〕によって変化し、温度係数 a と0 ℃ における抵抗率 ρ₀ を用いて、ρ = ρ₀ (1+aT) と表せるものとする。

ここで、図のような電源と抵抗を接続した回路において、抵抗の温度が T₁ 〔℃〕、T₂〔℃〕のとき、流れる電流の大きさはそれぞれ I₁、I₂ であった。このとき、 I₁/I₂ = κ とすると、κ を用いて、抵抗の温度 T₂〔℃〕は ㋑〔℃〕と表すことができる。ただし、電源の電圧及び温度係数 a は一定とし、温度変化による抵抗の長さ及び断面積の変化は無視できるものとする。」

　解 説　　　　　

㋐ ですが
L が長いほど抵抗は大きいです。従って、選択肢を見れば、L に比例している ρL/S と考えられます。正解は 1 ~ 3 です。

電圧 を V とおきます。
R = ρL/S と一般的に表せることが ㋐ よりわかっています。

温度 T₁ の時の抵抗値を R’ とおけば
R’ = ρ₀(1+αT₁)・L/S です。

同様に、温度 T₂ の時の抵抗値を R” とおけば
R’ = ρ₀(1+αT₂)・L/S です。

オームの法則より V = RI なので、I = V/R です。
I₁ = V/(ρ₀(1+αT₁)・L/S) です。
I₂ = V/(ρ₀(1+αT₂)・L/S) です。

従って、I₁/I₂ は以下のように表せます。

後は T₂ について式を解けば

『T₂ = κ(αT₁ + 1)－１／α』となります。

以上より、正解は 1 です。