図のように、 1 辺の長さが 2 の正三角形 ABC の 3 辺 AB、BC、CA の中点をそれぞれ L、M、N とし、線分 NL、BM の中点をそれぞれ P、Q とする。線分 LM、MN、NL に沿って三角形を折り曲げ、正四面体を組み立てたとき、線分 PQ の長さとして正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

一辺 1 の正四面体が組み立てられます。真上から見た図を考えるとわかりやすいのですが、求める PQ は、1 辺 1/2 の正方形の対角線です。

上図の右側において、P は底面三角形の辺における中点、Q は頂点から伸びる線分の中点です。 そして、Q から見て、頂点をはさんだ向こう側にいる方の点が P です。よって PQ が正方形の対角線に対応します。従って、PQ の長さは √2/2 です。

以上より、正解は 2 です。

a、b を正の実数、e を自然対数の底とする。関数 f(x) = log_ex/x (x > 0) において、a < b、かつ、f(a) = f(b) が成り立つとき、a、b、1、e の大小関係として正しいのはどれか。

1． 1 < e < a < b
2． 1 < a < e < b
3． 1 < a < b < e
4． a < 1 < b < e
5． a < b < 1 < e

　解 説　　　　　

具体的に考えます。

x → 0 の時、f(x) → ー∞ です。
f(1) = 0 です。
f(e) = 1/e です。
x → ∞ の時、f(x) → 0 です。

以下のような概略図を考えることができます。x = e がちょうど頂点かどうかはわかりませんが、大体こんな感じという概略です。

点線は、f(a) = f(b) となるような a,b を探すためにひきました。ちょうど 1 と e の間に a があり、e よりも後に b があるパターンが考えられます。1 < a < e < b で妥当と考えられます。

補足：もちろん、微分して概形をきちんと把握してから考えてもかまわない問題です。ただ、『具体的値に注目→概形把握→矛盾ない正解を選ぶ』という流れのほうが、試験一般に通用する得点力が身につくという点から、個人的には強くおすすめします。

以上より、正解は 2 です。

図のフローチャートにおいて、入力 a が、 1 ≦ a ≦ 16 を満たす整数であるとき、出力される c の最大値はいくらか。

1． 4
2． 5
3． 6
4． 7
5． 8

　解 説　　　　　

具体的に考えます。

a = 1 とすると
(a,n,c) = (1,1,0)y 0を出力です。 a = 2 でも同様とわかります。

a = 3 とすると
(a,n,c) = (3,3,0)ny 
(a,n,c) = (3,1,1)y → 1 を出力です。

a = 4 とすると
(a,n,c) = (4,4,0)nn
(a,n,c) = (4,6,1)ny
(a,n,c) = (4,2,2)y → 2 を出力です。

a = 5 とすると
(a,n,c) = (5,5,0)nn
(a,n,c) = (5,7,1)nn
(a,n,c) = (5,9,2)ny
(a,n,c) = (5,3,3)ny
(a,n,c) = (5,1,4)y → 4 を出力です。

a が 3 の倍数で始まってしまうと、ぽんぽん 3 で割れてしまい、3n + 1 でも １回 で3 で割れるため、3n + 2 が c を大きくするとわかります。a = 8,11,14 について、後は検討します。

a = 8 とすると（以降、「(a,n,c) =」 及び 「yn」 も省略）
8,8,0
8,10,1
8,12,2
8,4,3
8,6,4
8,2,5 → 5 を出力

a = 11 とすると
11,11,0
11,13,1
11,15,2
11,5,3　← 15÷ 3 = 5 で、また 3n+2 なので、非常にいい！
11,7,4
11,9,5
11,3,6
11,1,7 → 7 を出力　です。

a = 14 は、18 がぽんぽんと 3 で連続で割れてしまうため、残念ながら 7 を超えません。

以上より、正解は 4 です。

図のように、鉛直で滑らかな壁の張出し部の先端下縁の点 O に長さ 2L の糸を取り付け、糸の他端には質量 m の小球を取り付ける。糸を張った状態で点 O と同じ高さから小球を静かに放したところ、小球は壁に衝突し、糸がたるんだ。跳ね返った小球が、糸がたるんだ状態のまま点 O の鉛直線上で最高点に達したとき、壁と小球の間の反発係数として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

L は何でもいいので、1 とおきます。
まず、壁に衝突する直前の速さを、力学的エネルギー保存則より求めます。衝突した部分の高さは、（2-√3) です。

2mg = (2-√3)mg + mv²/2 を解いて
v²=2√3g　です。二重根号はいやなので、とりあえずこのままにしておきます。

水平成分、垂直成分を v_x , v_y とおけば
v_x = v × cos30°、v_y = v × sin30° です。そして、壁との衝突後は、水平方向だけ、反発係数をかけた速度になります。(下図参照）

「ちょうど O の鉛直線上で最高点」というのは、「壁に反射した時の初速により、ボールを斜めに投げ上げた」と考えれば『水平方向に 1 進んだ時、v_y – gt = 0』と解釈することができます。

初速 v_y で鉛直投げ上げした時の最高到達時間 t = v_y/g です。反発係数を e とおけば、水平方向は等速直線運動なので、水平方向に e × V_x × (v_y/g) 進みます。計算すると以下のようになります。

以上より、正解は 5 です。

長さが変えられる笛がある。この笛の管体は、吹き口がある方の端は閉口、もう一方の端は開口とみなすことができる。

気温300 K の部屋でこの笛を吹いたところ、管体の長さ L が27.0 cm のとき、図のような定常波が発生し、周波数 f の音が響いた。気温 270 K の部屋で L を調節してこの笛を吹いたところ、再び図のような定常波が発生し、同じ周波数 f の音が響いた。このときの L はおよそいくらか。ただし、気体中を伝わる音波の速さv〔m/s〕は、気体の密度をρ〔kg/m3〕、比熱比を c、圧力を p〔Pa〕とすると

で表され、c は一定とみなせるものとする。また、 10 =3.16 とし、さらに、開口端補正は無視
でき、空気には理想気体の状態方程式が成り立つものとする。

1. 24.3 cm
2. 25.6 cm
3. 27.0 cm
4. 28.6 cm
5. 30.0 cm

　解 説　　　　　

L = 27.0 cm の時、図の波における波長を λ とすれば、27.0 = 3λ/4 です。λ = 36.0 cm とわかります。

波の基本式 v = fλ です。問題文に与えられた v = √γp/ρ を用いて、300K、L = 27.0 cm における 波の速さを v₁ とすれば

と表すことができます。

次に、270K の場合を考えます。温度が 9/10 倍になっています。理想気体の状態方程式 pv = nRT を考えると、本問における V は部屋の体積であり、ほぼ定数とみなせる状況です。従って、温度が 9/10 倍なら、p も 9/10 倍です。9p/10 とおきます。270 K において、波の速さを v₂ とすれば

と表すことができます。√10 = 3.16 を利用し、式を変形します。

従って、f × 4L/3 = 3/3.16 × f × 36.0 となります。これを L について解けば

です。

式に注目すれば、L は、27 より小さく、さらに 分数部分を 3/3.15 と近似すれば 100/105 なので、27 × 105/100 について考えれば、27 から大体 5% 程度しか小さくなりません。27 の 5% が 1.35 なので、大体 25.6 ~ 25.7 と概算できます。選択肢から近い数値を選べば 25.6 が妥当です。

以上より、正解は 2 です。

図のように、静電容量 C のコンデンサーと抵抗値 Rの抵抗と開いたスイッチからなる回路があり、コンデンサーには電荷 Q が充電されている。

時刻 t = 0 にスイッチを閉じたとき、この回路に流れる電流 I（t）の経時変化を定性的に示したグラフとして最も妥当なのはどれか。ただし、電流は図の矢印に示す向きを正とする。

　解 説　　　　　

スイッチをつないた途端に、充電されていた電荷が勢いよく流れて、しばらくたつと電荷の流れが０になっていくと考えられます。t が大きい時にだんだん 0 へ緩やかに近づく、という点から、正解は 3 or 5 です。

そして、電子が移動する向きは ーQ 側から ＋Q 側へ一方向なので、符号が変わることはありません。

以上より、正解は 5 です。