正の整数 a、b が 2a +3b = 102 を満たすとき、 ab の最大値はいくらか。

1． 408
2． 420
3． 432
4． 444
5． 456

　解 説　　　　　

具体的に考えます。

a = 1 だと、3b = 100 で、b が整数なのでだめです。
a = 2 だと、3b = 98 で、b が整数なのでだめです。
a = 3 の時、3b = 96 → b = 32 で、ab = 93 です。a は 3 の倍数でないと、式を満たす b がありません。よって、次は a = 6 を考え、以降 a を 3 つずつ増やしていきます。

a = 6 → 3b = 90 → b = 30 → ab = 180 です。
a = 9 → 3b = 84 → b = 28 → ab = 252 です。このあたりで、b は 2 個ずつ減っていく規則性がわかります。以降は (a,b) の組を、a は 3つずつ増やす、b は 2つずつ減らしていって考えます。

(a,b) = (12,26) → ab = 312
(a,b) = (15,24) → ab = 360
(a,b) = (18,22) → ab = 396
(a,b) = (21,20) → ab = 420
(a,b) = (24,18) → ab = 432
(a,b) = (27,16) → ab = 432 
(a,b) = (30,14) → ab = 420 です。後はだんだん ab は小さくなりそうです。

以上より、正解は 3 です。

図Ⅰのような、上端に台が水平に取り付けられ、下端が床に固定されたばねがあり、台は図Ⅰの状態で静止していた。この台の上に質量 m の物体を静かに載せたところ、図Ⅱのように、台が a だけ下がって静止した。

ここで、図Ⅲのように、更にa だけ台を押し下げて、物体を載せたまま静かに放した。図Ⅲの状態から、台が図Ⅰの位置まで上がったときの物体の速さとして最も妥当なのはどれか。ただし、台は鉛直方向のみに動き、ばね及び台の質量は無視でき、空気抵抗はないものとする。また、重力加速度の大きさをg とする。

　解 説　　　　　

重力による位置エネルギー U_重力 = mgh、ばねによる位置エネルギー U_ばね = kx²/2、運動エネルギー K = mv²/2 です。

フックの法則 F = kx です。図Ⅱから、mg = ka なので、k=mg/a とわかります。

ばねによる位置エネルギーは、自然長が基準なので、ばねの自然長の高さを基準とします。図Ⅰ～Ⅲについて、それぞれのエネルギーについてまとめると、下図のようになります。

図 Ⅲ の状態で、全エネルギーの和が 0 です。これで指を離して図Ⅰの所までいくと、U_重力も U_ばねも 0 なので、K も ０ のはずです。つまり、v = 0 です。

以上より、正解は 1 です。

温度 T〔K〕の気体を一定体積の容器の中で完全に反応させた。その後、気体の温度を 2T〔K〕にすると、気体の圧力は反応前と等しくなった。この気体反応の反応式として最も妥当なのはどれか。ただし、気体A〜D は、いずれも理想気体とする。

1．A → B + C
2．A + B → C
3．A + B → 2C
4．A + B → C + D
5．A + B + C → 2D

　解 説　　　　　

理想気体なので、PV = nRT です。

温度が 2 倍なので、他が一定であれば 圧力は 2 倍になるはずです。しかし圧力が変わっていないということは、n、つまり物質量が 半分になったとわかります。化学反応式で考えれば、左辺の 項数が、右辺で 半分になっていればよいとわかります。

以上より、正解は 2 です。

25 ℃、pH = n の NaOH 水溶液に対する Mg（OH）₂ の溶解度を Sn 〔mol/L〕とする。S₁₂/S₁₃ はおよそいくらか。

ただし、イオン強度の効果は無視できるものとし、25 ℃ におけるMg（OH）₂ の溶解度積 Ksp を 1.2 × 10^-11 mol³/L³ とする。なお、Mg（OH）₂ の飽和水溶液において、Mg²⁺ の濃度［Mg²⁺］、OH^– の濃度［OH^–］及び Ksp の間には

［Mg²⁺］［OH^–］² = Ksp　

という関係式が成り立つ。

1． 1
2． 1 × 10
3． 1 × 10²
4． 1 × 10³
5． 1 × 10⁴

　解 説　　　　　

pH = 12 の時、溶液中の [H⁺] は 1.0 × 10^-12 です。水のイオン積は 25 ℃ で 1.0 × 10^-14 なので、[OH^–] は 1.0 × 10^-2 です。［Mg²⁺］［OH^–］² = 1.2 × 10^-11　に代入すれば、［Mg²⁺］= 1.2 × 10^-7 です。これは 正に S₁₂ です。

同様に、pH = 13 の時、[OH^–] は 1.0 × 10^-1 です。従って、［Mg²⁺］= 1.2 × 10^-9　= S₁₃ です。

従って、S₁₂/S₁₃ = 1.2 × 10^-7/1.2 × 10^-9 = 1 × 10² です。

以上より、正解は 3 です。 

ヒスチジンの等電点は 7.6 である。pH = 7.6 の水溶液中において最も多く存在するヒスチジンのイオンの構造式として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

ちょうど等電点であるような pH なので、アミノ基もカルボキシル基も電荷を持っている構造式を選べばよいと考えられます。更に、全体の電荷は中性です。

以上より、正解は 2 です。

簡単な分子は、それらの中にある電子対間の反発が最小となるような構造をとる傾向がある。次の化合物 ㋐、㋑、㋒ のうち、その気体分子が直線形であるもののみを全て挙げているのはどれか。なお、N₂O 分子中の原子の配列は NNO である。

㋐　O₃
㋑　N₂O
㋒　NO₂

1．㋐
2．㋐、㋑
3．㋐、㋒
4．㋑
5．㋒

　解 説　　　　　

㋐ ~ ㋒ のルイス構造式は以下の通りです。

O₃，NO₂ は、孤立電子対及び孤立電子の反発を最小化するために、折れ線形と考えられます。直線形は ㋑ です。

以上より、正解は 4 です。

ある植物の発芽種子の呼吸基質の種類を調べるために、図Ⅰのような装置を用いて、発芽種子が放出した二酸化炭素と吸収した酸素の体積比（呼吸商）を求める実験を行った。

二つの容器に発芽状態が同じ種子を同数ずつ入れ、一方の容器内には十分な濃度の水酸化カリウム水溶液を、もう一方の容器内には水を入れ、容器内の気体の減少量を測定した。図Ⅱはこの結果を表したグラフで、容器内に水酸化カリウム水溶液を入れた場合（実線）と水を入れた場合（破線）を示している。この実験結果から導き出される呼吸商とそこから推定される呼吸基質の組合せとして最も妥当なのはどれか。

呼吸商　呼吸基質
1． 0.3　タンパク質
2． 0.3　脂肪
3． 0.7　炭水化物
4． 0.7　タンパク質
5． 0.7　脂肪

　解 説　　　　　

呼吸商とは、O₂ 消費量に対する CO₂ 排出量の比です。

水を入れていた時の 15 とは、吸った O₂ と 排出した CO₂ の差です。O₂ の方をいっぱい吸っているため、容器内の気体が 10 分で 15μL 減少したと読み取れます。

水酸化カリウムは CO₂ を全て吸収します。つまり、吸った O₂ 量が減少し、排出した CO₂ は全て吸収されるため、吸った O₂ は 10 分で 50 μL とわかります。

従って、呼吸商は 生成 CO₂/消費 O₂ = 35/50 = 0.7 です。呼吸商は基質が一種類であれば、炭水化物なら 1、タンパク質なら 0.8、脂肪なら 0.7 です。

以上より、正解は 5 です。  

窒素源として ¹⁵N のみを含む培地で大腸菌を長時間培養することにより、その DNA に含まれる全ての窒素を ¹⁵N に置換した。この大腸菌を親世代とし、窒素源として ¹⁴N のみを含む培地に移して培養を続けた。

親世代の大腸菌から DNA を取り出し、塩化セシウム密度勾配遠心法により分離した結果、図 A のようになった。その後 1 回細胞分裂した第 1 世代及び 2 回細胞分裂した第 2 世代の大腸菌から DNA を取り出し、同様に分析した結果として期待される図を図 B〜G のうちからそれぞれ選び出したものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

第1 世代　第2 世代
1． 図B　図E
2． 図B　図G
3． 図C　図F
4． 図D　図E
5． 図D　図F

　解 説　　　　　

取り込む N の違いにより、DNA の密度が変化します。密度の変化に基づいて分離を行うのが密度勾配です。

初めの大腸菌を 100 匹と仮定します。
100 匹は ¹⁵N のみを含んだ 重たい DNA を含んでいます。そのため、図 A のように、一番右側にピークが見られます。

100 匹が細胞分裂をして 200 匹になります。
この 第１世代 200 匹が含む DNA は、「¹⁵N を含む一本鎖 DNA を鋳型とし、複製された DNA鎖 は ¹⁴N を含むもの」です。従って、図 A のピークよりは軽い方にピークが１つできると考えられます。第１世代 は、図 D が妥当です。

次に、200 匹が分裂して 400 匹になります。この第 2 世代 400 匹が含む DNA は、２種類考えられます。すなわち、「¹⁵N を含む一本鎖 DNA を鋳型とし、複製された DNA鎖 は ¹⁴N を含むもの」と、「¹⁴N を含む一本鎖 DNA を鋳型とし、複製された DNA鎖 は 2 本とも ¹⁴N を含むもの」です。それぞれの DNA を有する大腸菌が 200 匹ずつ生まれます。従って、図 D と同じところと、それよりも軽い所に、ほぼ同じ大きさのピークが見られると考えられます。第 2 世代は、図 E が妥当です。

以上より、正解は 4 です。

神経細胞における興奮の伝導に関する記述㋐〜㋓のうち妥当なもののみを挙げているのはどれか。

㋐　興奮部から神経伝達物質がニューロン内を移動することによって、興奮が伝わる。　
㋑　興奮部から隣接部へ、細胞膜のタンパク質透過性の変化が伝わることによって、興奮が伝わる。
㋒　興奮部における活動電位の発生に伴い、細胞膜外では隣接部から興奮部に向かって電流が流れる。
㋓　有髄神経では、同じ太さの無髄神経に比べて興奮の伝導が速い。

1．㋐、㋒
2．㋐、㋓
3．㋑、㋒
4．㋑、㋓
5．㋒、㋓

　解 説　　　　　

㋐ ですが
記述は「興奮伝導」についてです。神経細胞の「電気的な興奮」がニューロン「内」を伝わっていきます。神経伝達物質が関与するのは、ニューロン間における間隙シナプスにおける「伝達」部分です。よって、㋐ は誤りです。

㋑ ですが
イオン透過性の変化により、電位の変化がおき、電位の変化が伝わることにより興奮が伝導します。「タンパク質透過性の変化」ではありません。よって、㋑ は誤りです。

㋒、㋓ は妥当な記述です。

以上より、正解は 5 です。

集団の進化に関する次の記述の㋐、㋑に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「集団サイズが十分に大きく、問題とする遺伝子に突然変異が起こらず、他の集団との間で個体の移入や移出がなく、自然選択が起こらず、交配が自由に行われる場合、集団内の対立遺伝子と遺伝子型の頻度は世代を㋐。これをハーディ・ワインベルグの法則といい、しばしば集団が進化しているかどうかを検証するのに用いられる。

ヒトの MN 式血液型には、M 型、N 型、MN 型の三つがあり、これらは優劣がない1 対の対立遺伝子によって決定される。あるヒト集団において、M 型の割合が36 ％ であるとき、この集団が上記の法則に従うならば、MN 型の割合は㋑となる。」

㋐　㋑
1．重ねても変化しない　48 %
2．重ねても変化しない　24 %
3．重ねても変化しない　16 %
4．重ねると変化する　　48 %
5．重ねると変化する　　16 %

　解 説　　　　　

例として、対立遺伝子 A の頻度が 60%、a の頻度が 40% だったとします。すると、A/A を有する個体は 36、A/a を有する個体は 48、a/a を有する個体は 16 となる、というのがハーディワインベルグの法則です。

この時、遺伝子頻度は結局変わっていないことに注目してください。すなわち、A に注目すれば、36 × 2 + 48 × 1 = 120、a に注目すれば 48 × 1 + 16 × 2 = 80 で、それぞれ 60%,40% となります。㋐ は「重ねても変化しない」です。正解は 1 ~ 3 です。

㋑ ですが
M 型 が 36% というのは、片方の対立遺伝子の頻度が 60% であることを意味します。従って、もう一方の対立遺伝子の頻度は 40% です。MN 型の割合は 0.6 × 0.4 × 2 = 0.48 = 48% です。

以上より、正解は 1 です。