正六面体には、90° 回転させると元の正六面体に重ね合わせることができる回転軸が、図Ⅰのように 3 本存在する。ここで、図 Ⅱのような正四面体について考える。正四面体を 120°、180°回転させて元の正四面体に重ね合わせることができる回転軸の本数をそれぞれ N₁₂₀、N₁₈₀ とする。N₁₂₀ と N₁₈₀ の和はいくらか。

1． 4
2． 5
3． 6
4． 7
5． 8

　解 説　　　　　

知識として知らない場合は、図Ⅰをヒントとして考えることが期待されている問題かと思われます。

図Ⅰ ③ のパターンを、図Ⅱでも考えてみると「頂点とそれに向かい合う面の中心を通る軸」が対応すると考えられます。頂点が 4 つあるので、４本考えられます。これが N₁₂₀ です。

図Ⅰ ② のパターンを、図Ⅱでも考えてみると「相対する二辺の中点を結んだ軸」が対応します。辺が 6 本なので、軸は 3 本です。これが N₁₈₀ です。

図Ⅰ ① のパターンは、対称性が崩れるため、うまく元に重なりません。軸は合わせて 4 + 3 = 7 本です。

以上より、正解は 4 です。

x は t の関数であり、微分方程式 

及び初期値 x(0) = N を満たす。このとき

として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

具体的に考えます。

まず
ーdx/dt = (a+b)x -bN ・・・(1) と変形します。
するとこの式は「x を t で微分すると、x の定数倍に定数を加えたもの」と読み変えることができます。『微分したのに定数倍』ということから e^ct を項に含むと考えます。※ c は定数です。

ひとまず、x = e^ct とおいてみます。-dx/dt = -ce^ct となります。(1) の右辺と比較すると a+b = -c かつ、-bN = 0 となります。しかし b,N は共に正の定数なので、これを満たす b,N は見つかりません。

そこで、x = e^ct + d とおきます。-dx/dt = -ce^ct という微分した結果は変わりません。(1) の右辺を見ると (a+b)(e^ct + d) -bN です。展開すると (a+b)e^ct +d(a+b) -bN です。係数を比較すれば a+b = -c です。これを代入して定数項を係数比較すれば -cd -bN = 0 ・・・（２）となります。

求めたいのは、x(t) の t が無限大にとんだ時の値でした。まず a+b = -c なので c = -(a+b) です。a,b は正なので、c は負となります。これにより  e^ct の部分は t が無限大の時 0 に収束するとわかります。残るのは d です。

（２）の式を d について解けば d = ーbN/c です。そして、c = -(a+b) でした。代入すれば d = bN/(a+b) です。これが求める極限です。

以上より、正解は 5 です。

図は、ある計算を行うためのフローチャートである。このフローチャートに関する次の記述のうち最も妥当なのはどれか。

1．N を大きくすると、S は一定値に近づく。
2．このプログラムは

を求めるものである。
3．N= 4 のとき、印刷される S の値は有効数字を 4 桁とすると1.708 である。
4．N= 5 のとき、印刷される K の値は120 である。
5．J ← J+1 に代えて J ← J + 2 にすると、S の値は半分になる。

　解 説　　　　　

N = 4 として、チャートを読んでみます。

(N,J,K,S) = (4,1,1,1)
(N,J,K,S) = (4,1,1,2)n
(N,J,K,S) = (4,2,2,2+1/2)n
(N,J,K,S) = (4,3,6,2+1/2+1/6)n
…

となります。

N = 4 の場合、J = 5 になったところでループを抜けて下に行き、K,S を印刷します。N の値が変わった場合、J = N + 1 になる所まで、ループが回るチャートです。

すると S は 2 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + … となります。S は急速に一定の値に収束していくことが読み取れます。

また、印刷される K は、N = 4 の場合、最後のループで J = 5 になるので、5! です。一般的に表せば、印刷される K は「 (N + 1)!」 と表されます。

以上より、正解は 1 です。

図のように、水が 6.0 m・s^-1 の速度で、内径 100 mm の水平直管内から大気中に放出されている。この流出管には、流出口の位置から 2.5 m の高さに、内径 200 mmの水平直管が接続されており、ここから水が供給されている。

内径 200 mm 管のある断面 A の静圧は 1.050 × 10⁵ Pa であり、流出口付近の断面 B の静圧は 1.013 × 10⁵ Paであった。AB 間における水 1 kg 当たりのエネルギー損失はおよそいくらか。ただし、重力加速度の大きさ g を 9.8 m・s^-2 とする。また、水の密度 ρ₀ を 1.0 × 10³ kg・m^-3 とし、ベルヌーイの定理、すなわちエネルギー損失がなければ、

が成り立っているものとする。

1.　3.9 J・kg^-1
2.　11 J・kg^-1
3． 17 J・kg^-1
4． 37 J・kg^-1
5． 45 J・kg^-1

　解 説　　　　　

連続の式 Q = Av です。

内径が 2 倍になると、断面積が 4 倍になります。流速は 1/4 倍です。これにより、点 B の流速が 6.0 m/s だから、点 A の流速は 1.5 m/s とわかります。

点 A、B に対してベルヌーイの定理を適用し、数値を代入します。g ≒ 10 とします。また、点 A → 点 B により失われる損失水頭を h とします。

左辺が 1.125 + 25 + 105、右辺が大体 18 + 101 + h となります。h ≒ 12 です。選択肢から一番近いものを選ぶと 11J/kg です。

以上より、正解は 2 です。

液体中を音波が伝わるとき、その波の伝播速度 u は、媒質の液体の圧縮率を k、密度を t とすると

で表される。

いま、密度1．6 ×10³ kg・m^-3 の液体中に、図のように 25 kHz の超音波を照射したところ、定在波が発生した。圧力センサーにより、音圧が高い、すなわち定在波の腹に当たる位置を測ったところ、その間隔が 1.8 cm であった。この液体の圧縮率はおよそいくらか。

1． 1.4 × 10^-10 Pa^-1
2． 3.8 × 10^-10 Pa^-1
3． 7.7 × 10^-10 Pa^-1
4． 3.1 × 10^-9 Pa^-1
5． 5.4 × 10^-9 Pa^-1

　解 説　　　　　

波の基本式 v = νλ を思い出します。本問の図に描かれているのは「定常波」なので、「超音波振動子から出ている波」の一部に色をつけると、以下のようになります。従って、「超音波振動子から出ている波」の波長は 3.6cm です。

与えられた式の左辺を νλ にして、数値を代入します。ν = 25 × 10³、λ は単位をメートルになおしておくので、3.6 × 10^-2 とします。

25 × 3.6 = 90 です。両辺二乗すると
81 × 10⁴ = 1/(k × 1.6 × 10³)
81 × 1.6 × 10⁷ = 1/k
∴ k = 1/(129.6 × 10⁷) ≒ 1/(1.3 × 10⁹) です。選択肢から近い値を選べば 7.7 × 10^-10 となります。

以上より、正解は 3 です。 

抵抗値 R₀ 、2R₀ の抵抗と可変抵抗X及び起電力 V₀ の電池を用いて、図のような回路をつくった。この回路において、検流計に電流が流れないように X を調整したとき、回路全体で消費する電力として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

典型的なホイートストンブリッジ回路に書き換えるとわかりやすいと思います。下図のように書き換えられます。

検流計に電流が流れないような時に R₀ × X = 2R₀ × 2R₀ です。従って、X = 4R₀ です。

検流計に電流が流れない時は、以下のような並列回路と考えられます。

電力 P = VI です。オームの法則 V = RI より、P = V²/R です。

それぞれの抵抗にかかる電圧は V なので、それぞれの抵抗で消費される電力が V²/3R₀、V²/6R₀ となります。足せば V²/2R₀ です。

以上より、正解は 3 です。