xy 平面上において１次変換 f を表す行列

がある。f により、xy 平面上にある原点以外の任意の点 P は点 Q に移り、また、点 Q は点 R に移る。３点 P、Q、R が全て異なり、同一直線上になく、かつ、常に PQ ＝ QR となるようにa を定めるとき、a はいくらか。

1. －2
2. －√ 3
3. 0
4. 1
5. √3

　解 説　　　　　

点(x,y) を、(x’,y’)に移すのが変換です。x’ = ax+by、y’=cx + dy の形を一次変換といいます。行列を左からかけることで実現できます。行列 A を点に作用させると表現します。

具体的に考えます。点 A を（1,0) として、行列 A を作用させてみます。

（0,1) に移ります。(0,1) に行列 A を作用させると

となり、(-1,a) に移ります。

長さの条件から考えれば、a = 0 です。

以上より、正解は 3 です。

ちなみに、a = 0 の時の行列 A は、90° 回転行列を表しています。

xy 平面上の動点 P(x,y) の時刻 t における位置が x ＝ 3t － 1、y ＝ －t² ＋ 2t＋ 3と表されるとき、P の速さが最小となる t はいくらか。

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

　解 説　　　　　

具体的に考えます。

t = 0 の時、(x,y) = (-1,3)
t = 1 の時、(x,y) = (2,4)
t = 2 の時、(x,y) = (5,3)
t = 3 の時、(x,y) = (8,0)
t = 4 の時、(x,y) = (11,-5)
t = 5 の時、(x,y) = (14,-12) です。

できるだけ丁寧に図を描くと、以下のようになります。t = 1 付近が一番速さが小さいと判断できるのではないでしょうか。

ちなみに、x,y をそれぞれ t で微分し
dx/dt = 3、dy/dt = -2t+2 となるため、x 方向には定速です。dy/dt が 0 となるため、t = 1 と考えてもよいです。

以上より、正解は 1 です。

図は、100 未満の互いに異なる 20 個の正の整数 a₁, a₂, …, a₂₀ のうちから ２ 番目に小さい数を出力するフローチャートである。図の ㋐ ～ ㋓ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

㋐　㋑　㋒　㋓
1. x ← y　y ← a_ix ← a_i　x
2. x ← y　y ← a_ix ← a_i　y
3. x ← y　y ← a_iy ← a_i　y
4. y ← x　x ← a_ix ← a_i　x
5. y ← x　x ← a_iy ← a_i　y

　解 説　　　　　

具体的に考えます。

a₁ = 1、a₂ = 2,,,a₂₀ = 20 という 20 個の整数を考えます。2 番目に小さい数が出力されるフローチャートなので、この 20 個の時に 2 が出力されるように、図をうめていきます。

上からチャートを読んでいくと
(x,y,i) = (100,100,1)nnn で、㋐、㋑ と続きます。ここで、正解が 1 ~ 3 、つまり x ← y, y ← a_i とすると、y に a₁ 、つまり y に 1 が入ります。

この仮定の下でチャートを読み進めると
(x,y,i) = (100,1,2)ny で、㋒ と続きます。x ← a_i とすると、x に a₂  、つまり x に 2 が入ります。そしてチャートを読んでいくと、a₃ 以降すべて yes となり、x を出力すれば OK です。

ところで
㋒ のところで y ← a_i とすると、y に a₂  、つまり y に 2 が入ります。x = 100 のままなので、以降ずっと ㋒ にチャートが分岐することになり、どんどん y が増えていきます。これでは 2 を出力することができません。

一応確認のため、正解が 4,5 であったと仮定します。すると (x,y,i) = (100,100,1)nnn の次に x に a₁ 、つまり x に 1 が入ります。 すると後はずっと a_i > x になり、2 を出力することができません。4,5 は誤りとわかります。

以上より、正解は 1 です。

図のように、水平で滑らかな床に質量 m_A、m_B の小球 A、B を置き、ばね定数 k の軽いばねでつなぎ、静止させた。ある瞬間に、 A に右向きの速度を与えたところ、この系の重心から見てA 、B はそれぞれ単振動した。重心から見た B の単振動の周期として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

単振動の周期なので

を思い出します。

自然長 L として、重心の x 座標を 0 とします。 B の x 座標は m_A/(m_A + m_B) × L です。ばねの長さと、ばね定数は反比例します。重心から見た B までのばねのばね定数を k’ とおきます。長さが L でばね定数が k なので、長さが m_A/(m_A + m_B) × L になったのであれば、k’ = (m_A + m_B)/m_A × k です。これを公式に代入すれば

以上より、正解は 1 です。

別解
極端な例として、m_A = 0 及び m_B = 0 の時、周期も何もないはずなので、０になると考えられます。少なくとも、まともな値が出てはいけません。よって、まず選択肢 4,5 は明らかに誤りです。m_B = 0 の時、選択肢 4 は普通の値になります。m_A = 0 の時、選択肢 5 は普通の値になります。

同様に、m_B = 0 の時、選択肢 2 は 2 π√m_A/k　となり、普通の値になります。m_A = 0 の時、選択肢 3 は 2 π√m_B/k　となり、普通の値になります。よって、選択肢 2,3 も誤りです。

以上より、正解は 1 です。

ある銀河のスペクトルを観測したところ、波長 589.0 nm に相当する吸収線の波長が、590.9  nm と観測された。観測点からこの銀河までの距離はおよそいくらか。

ただしハッブル定数 H を 70 km/(s・Mpc)、光の速度 c を 3.0 × 10⁵ km/s、1Mpc(メガパーセク)を 326 万光年とする。またハッブルの法則によれば銀河の後退速度 V[km/s] 、銀河までの距離 r[Mpc] の間には V ＝ Hr の関係が成り立つ。

なお同一直線上で観測者光源が相対速度 v で離れていく場合、光源の出す光の振動数を f
とすると観測される光の振動数 f’ は、f’≒f × c/(c+v) で近似される。

1. 26百万光年
2. 45百万光年
3. 54百万光年
4. 90百万光年
5. 140百万光年

　解 説　　　　　

光源が動いているため、ドップラー効果を思い出します。ドップラー効果なので、音源（S)→観測者（O)方向を正とします。ドップラー効果の公式より f’ = f × c/(c – V) です。下図のようにまとめられます。

ドップラー効果の式を V について解きます。

ここで f/f’ は 589/590.9 なので、589/591 → 分母と分子の差が 2 という点に注目して 598/600 と近似し、299/300 とします。これにより、V ≒ c/300 です。V = Hr なので、r = V/H です。単位に注意します。1Mpc = 326 万光年なので、少しきりよく 325 万光年とした上で

以上より、正解は 2 です。

図のように、真空中の xy 平面上の点 A (0,d) 及び点 B (0, －d) に電荷 q の点電荷が固定されている。点C (－√ 3d , 0) から、質量 m、 電荷 2q の小球を x 軸の正の向きに速さ v で発射するとき、原点O (0, 0) に到達するために必要な v の最小値として最も妥当なのはどれか。ただし真空の誘電率を ε₀ とし小球に作用する重力は無視できるものとする。

なお、真空中において、電荷 Q_x の点電荷 X と電荷 Q_Y の点電荷 Y が距離 r 離れて置かれているとき、X、Y の間には F = Q_xQ_Y/4πε₀r² の静電気力が働き X Y の電気的な位置エネルギーをそれぞれ U_x,U_Y とすると、U_x、U_Y は無限遠を基準(r ＝∞ のとき U_x ＝ U_Y ＝ 0) として
U_x ＝ U_Y ＝ Q_xQ_Y/4πε₀r　で表される。

　解 説　　　　　

電気的な位置エネルギーとは、電位といえます。電位はスカラー量なので、点 A、点 B それぞれの点電荷が作る電位を単純に足し合わせたものが、点 C における電気的な位置エネルギーです。

各点電荷による電気的な位置エネルギーは、電荷 q,2q,距離が 2d なので

それぞれの点電荷による電気的な位置エネルギーを足し合わせると、２倍すればよいので

次に、到達したい原点 O の電気的な位置エネルギーを考えます。電荷 q,2q,距離が d で、それぞれの電荷による位置エネルギーを足し合わせると q²/πε₀d です。差を計算すると、以下のようになります。

一方、質量 m、速さ v で発射された小球が持つ運動エネルギー K は、K = mv²/2 と表されます。位置エネルギーの差 ≦ 運動エネルギー　であれば、原点 O に到達すると考えられます。不等式を、v について解くと、以下のようになります。

以上より、正解は 4 です。