実数 x,y が次の五つの不等式を満たすとき、x + y の最小値及び最大値の組合せとして正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

まずは具体的に考えて、正解を絞りたい問題です。

x = 0 , y = 2 が明らかに不等式をすべて満たすので、x + y の最小値が 2 であることはすぐに求めることができます。正解は 1 or 2 です。

本問は、一般的には「線形計画法」の問題です。それぞれの不等式の満たす領域を考えた上で、x + y = k とおきます。y = -x + k となおせるため、傾き－１の直線を考えて、y 切片が k を表すことになります。不等式の領域が上図、一つのグラフに重ね合わせた上で、y = -x + k を点線で表したものが下図になります。

x = 10/3,4/3 の時、最大値 14/3 をとるとわかります。

以上より、正解は 2 です。

図のように、曲線 y = x²上の点P (a,a²) (a > 0) における接線と x 軸との交点を Q とする。原点を O として、∠OPQ ＝ θ とすると、tanθ の最大値はいくらか。なお必要ならば

を用いてよい。

　解 説　　　　　

点 P における接線の傾きは y’ = 2x より、2a です。点 (a,a²) を通るため、接線は y = 2ax – a² と表すことができます。そのため、x 軸との交点は、y = 0 を代入することで x = a/2 とわかります。

∠QOP = X とおきます。tanX = a です。また、tan(θ + X) = 2a と表すことができます。下図参照

必要ならば、と与えられた式の α = θ、β = X とおけば、左辺は、tan(θ + X) = 2a です。一方、右辺ですが tan X = a なので、(a + tanθ)/（1 ー a tanθ）です。

2a = (a + tanθ)/（1 ー a tanθ）を、tan θ について解けば、tan θ = a/(2a²+1) です。f(a) = a/(2a² + 1) とおき、a > 0 における最大値を求めればよいとわかります。

微分すれば、f’(a) = (2a²+1-4a²)/(2a² + 1)² = (-2a²+1)/(2a² + 1)²　なので、a = １/√2 の時に最大値です。tan θ = 1/(√2/2) = 1/2√2 = √2/4 です。

以上より、正解は 3 です。

図は、二つの自然数 a,b(a ≧ b) の最大公約数を求めるユークリッドの互除法のフローチャートである。ユークリッドの互除法は、次の考え方に基づくものである。

自然数 p,q (p ≧ q) について
・p が q で割り切れるとき、p と q の最大公約数は、q に等しい。
・p を q で割った余りが r のとき、p と q の最大公約数は、q と r の最大公約数に等しい。

図の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

入力の一例として、a = 21, b = 14 を入力します。最大公約数である 7 が出力されるように選択肢を検討します。

(M,N,L) = (21,14,7)y
(M,N,L) = (21,14,-7)nn
ここでもし ㋐ が M ← M + N だと、M が大きくなります。チャートの戻る場所を考えても、入力として 別の数値（この例でいえば 21 + 14 = 35）を代入したような流れになってしまうため、明らかに誤りと考えられます。

また、㋑ ですが、最終的に出力するのが N なので、N ← L だと、このままでは負の数になってしまいおかしい印象です。よって、N ← N + L が適切と思われます。

㋐ が M ← N、㋑ N ← N + L として、具体的に確認してみると

(M,N,L) =（14,7,-7）
(M,N,L) =（14,7,7）y
(M,N,L) =（14,7,0）ny → 7 を出力　となり、妥当と考えられます。

以上より、正解は 5 です。

定滑車の回転に関する次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「図のように、質量 m、半径 r、慣性モーメント I＝1/2 mr² の定滑車に糸をかけ、その両端に質量 m、 2m の二つの小物体をそれぞれつるし、静かに放したときの定滑車の回転角加速度を求める。ただし、定滑車にかけた糸は滑らないものとし、重力加速度の大きさを g とする。

定滑車の回転角を θ、時間を t、小物体の加速度を a とすると、定滑車の回転運動に関する運動方程式は図の張力 T₁、T₂ (T₁ > 0、T₂ > 0) を用いて

で表され、また θ と a には

の関係がある。これらの式と小物体に関する運動方程式を整理し、さらに定滑車にかけた糸は滑らないことを考慮すると、d²θ/dt² ＝ ㋑ と表される。」

　解 説　　　　　

慣性モーメントについては、回転角を θ、モーメントを M、慣性モーメントを Ｉ とおくと

が成立します。

モーメントの公式「M = F×d」より、定滑車のモーメントは T₂ × r ー T₁ × r = (T₂ ー T₁) × r です。正解は 1 ~ 3 です。

それぞれの小物体に注目すれば、運動方程式「F = ma」より、 T₁ ー mg = ma、2mg ー T₂ = 2ma という２式が作れます。この２式を、T₁、T₂ について解いておけば、T₁ = ma + mg、T₂ = 2mg ー 2ma です。問題文より、Ｉ=mr²/2 とある点に注意して、４式を並べると、以下のようになります。

一番上の式の T₁、T₂ を、下の２式を代入し、消去して整理すれば

a を消去した後に、d²θ/dt² について解けば、以下のようになります。

以上より、正解は 1 です。

図Ⅰのように、均質なプリズムに光を入射させると、光は矢印の方向に進んだ。図Ⅱのように、このプリズムに光を入射させたとき、この光が進む方向として妥当なもののみを ㋐ ～ ㋓ のうちから全て選び出しているのはどれか。

1. ㋐、㋓
2. ㋑
3. ㋑、㋓
4. ㋒
5. ㋓

　解 説　　　　　

媒質１→媒質２の時、スネルの法則より、屈折率をそれぞれ n₁、n₂ とし、入射角 = θ₁、屈折角 = θ₂ とすると、n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂ です。図Ⅰより n₁ × √2/2 = n₂ × 1/2 です。従って、n₂ = √2n₁ です。

次に、図Ⅱを考えると、√2 sin45° = sin 屈折角 です。左辺が 1 になるので、屈折角は 90 °となります。これは、入射角としての 45° が臨界角であることを意味します。臨界角以上では、全反射します。これは基礎知識です。従って、㋐～㋒ は誤りです。

以上より、正解は 5 です。

真空中に置かれた極板間隔 3d、静電容量 C の平行平板コンデンサに、厚さ d、比誘電率３の誘電体を極板から d 離れた位置に図のように平行に挿入した。このコンデンサの静電容量として最も妥当なのはどれか。

ただし、誘電体は極板より十分に大きいものとする。また、静電容量 C₀ の平行平板コンデンサの極板間を比誘電率 ε_r の誘電体で満たすと、静電容量は ε_r C₀ となる。

　解 説　　　　　

コンデンサなので、基本公式として Q = CV、C = εS/d を思い出します。誘電体入りの場合は、誘電体入の部分とそうでない部分に分けて、コンデンサの合成とみなします。

誘電体の部分は d が 1/3 倍になり、比誘電率が 3 なので、元のコンデンサの 9 倍の静電容量です。つまり 9C です。間隙部分は、d が 2/3 倍になったので、元のコンデンサの 3/2 倍です。つまり 3/2 C です。この 2 つの合成なので、以下のようになります。

以上より、正解は 1 です。