k（キロ）,M（メガ）,G（ギガ）,T（テラ）,P（ペタ）
m（ミリ）,μ（マイクロ）,n（ナノ）,p（ピコ）,f（フェムト） ぐらいまでよく見かけます。表でまとめると以下のようになります。

ちなみに科学発展と共に大きい数、小さい数の扱える桁が大きくなることを反映し、2022 年には R（ロンナ：10²⁷）,Q（クエッカ：10³⁰）、r（ロント：10^-27）,q（クエクト：10^-30） が SI 接頭語に仲間入りする可能性があるようです。

冪（べき）とは、a^b という形のことです。
先程の表、右端列の「10^◯」の形を10 のべき乗と呼びます。◯ の部分を指数といいます。大きな数や小さな数は 10 のべき乗を用いて表されることも多いです。SI 接頭辞による表現と、べき乗表現をすらすらと書き換えられるようにしっかり理解をしておきましょう！

対数とは、指数の別表現です。
例えば 100 = 10² の 指数「２」だけを取り出したと考えます。するとこの「２」は単なる数値の２ではなく「10 という数字に乗っかっていた 2」です。そこで 10 にのっかってたよ、というのを示す「底」と、結局全体の大きさは何だったかという「真数」を用いて log（底）（真数）という表記で表すのが対数です。さきほどの 10² の 2 であれば 2 = log₁₀100 です。もしも 9 = 3² の 2 を取り出したのであれば 2 = log₃9 となります。

何でこんな表し方を考えたかというと、指数で 10^x = 1 や 10^x = 10 なら簡単ですが 10^x = 2 となると「うーん、０～１なのはわかるんだけど・・・」となります。そこでとりあえず x = log₁₀2 と表すことであっさり表せて便利な表現だからです。ちなみに log₁₀2 は、具体的には大体 0.3 という数字です。

そして、薬学において対数は、小さな数を大きな数で表せるという利点があり、多く用いられます。薬学でよく扱う μ や n が示す「10^-6 」mol/L や 「10^-9 」mol/L といった小さな数は、べき乗でコンパクトに表現しても「どっちも結局すごい小さいから、なんかイメージわかない・・・」という問題点があります。

そこで『小さい数を大きい数で表現しなおす』のに、指数部分のみに注目し、対数表現を用います。ただ、「log（底）（真数）」という少し長い表現を使わずにすむよう「底は 10 と決めつけるね、それと小さい数の指数部分は負だから、対数表現にする時符号は逆にしよう」というルールが頻出です。接頭語 の「p」で表され「-log10 を小さい数に対してとる」という操作になります。この操作により、小さな数が大きな数で表現されます。

「p」について、10^-6 と 10^-9 を例にあげます。
p をつける、すなわち -log10 をとれば それぞれ「６」と「９」です。

10^◯ でない場合について例をあげます。
0.002 = 2 × 10^-3 について考えましょう。 -log₁₀ をとると「3 ー 0.3 ≒ 2.7」です。どのような計算なのか、以下で説明します。

対数表現には計算規則があって、掛け算は足し算になおせます。すなわち -log₁₀(2 × 10^-3) = -(log₁₀2 + log₁₀10^-3) となります。従って、３ーlog₁₀2 となります。さらに log₁₀2 ≒ 0.3 なので、３－0.3 ≒ 2.7 です。

※ log₁₀2、log₁₀3、log₁₀7 などは、大体問題文で与えられる定数です。

有効数字の足し算、引き算を行う時は、とりあえず数字をそのまま計算します。そして、それぞれの有効数字において最も有効桁が大きい桁に結果を合わせます。

具体例として、1.23 + 0.128 を考えましょう。
とりあえず足すと 1.358 です。それぞれの有効数字は 1.23 が小数第 2 位、0.128 が小数第 3 位です。有効桁が大きいのは小数第 2 位です。従って、計算結果を小数第２位までに、四捨五入により丸めます。1.358 → 1.36 となります。

※ 実際の計算で
例えば 2.34567 + 0.12 + 3.456789 をそのまま計算するのは、明らかに 0.12 の有効桁が大きく、あまり小さな桁の計算をするのは無駄です。そこで途中計算では最も有効桁が多い桁のさらに１桁多くとり（それより下は四捨五入）、最後に桁を合わせるのが慣例です。すなわち 2.34567 → 2.346、3.456789 → 3.457 としておき計算します。2.346 + 0.12 + 3.457 = 5.923 → 5.92 とします。

有効数字の掛け算、割り算についても、とりあえず計算します。そして、有効桁数の小さい方が、答えの有効桁数となります。ここで足し算・引き算との違いを意識してほしいのですが、こちらは「桁数」に注目です。

具体例として、1234 × 0.12 を考えます。
1234 の有効桁数は 4 桁、0.12 は 2 桁です。とりあえず計算すると 1234 × 0.12 = 148.08 です。結果を 2 桁にします。150 と書くと 有効桁が 3 桁に見えるため、15 × 10¹ と表します。

ちなみに四捨五入についてですが
最後の桁の次の数字が 5 の場合について、丸め誤差がより小さくなるように『常に偶数に近似』するという JIS や ISO により定められた丸め方が用いられることもあります。

具体例として
1.225,1.235,1.245 をそれぞれ有効桁数 3 桁に丸めます。結果は
1.225 → 1.22
1.235 → 1.24
1.245 → 1.24 です。

四捨五入については、他にも薬価計算における五捨五超入など、独自ルールがある場合があります。頭の片隅においておくとよいです。

問題演習
99-4
103-5
105-4

指数関数は、y = a^x と書ける関数です。
a は定数です。a = 2 を例にあげると y = 2^x となります。指数関数の特徴は大きく３点です。『１：x = 0 の時 y = 1 を必ず通る』、『２：a > 0 かつ、a ≠ 1 とする』、『３：a の値によって、x が増えた時に y がどうなるか大きく 2 分される。具体的には 0 < a < 1 の時は、x 増えると y は小さくなる。a > 1 の時は、x 増えると y 増える』です。

急速に増加 or 低下するので、細胞分裂や半減期などを表すことができる形式です。代表的な y = (1/2)^x と、y = 2^x のグラフを以下にあげます。

対数関数は、y = log_aX と書ける関数です。
a は定数です。a = 2 を例にあげると y = log₂X です。対数関数の特徴は大きく３点です。『１：x = 1 の時、y = 0 を必ず通る。』『２：a > 0 かつ a ≠ 1、X > 0 である。』『３：a の値によって、x が増えた時に y がどうなるか大きく 2 分される。具体的には 0 < a < 1 の時、0 < a < 1 の時は、x 増えると y は小さくなる。a > 1 の時は、x 増えると y 増える』です。

非常にゆっくり増えたり減ったりするので、特に一方の変数が非常に大きな値や小さな値をとる時に用いると便利な形式です。pH や吸光度について表す時に用いられます。代表的な y = log _1/2 Xと、y = log ₂ X のグラフを以下にあげます。

指数・対数でよく使う公式と例　一覧

三角関数は
y = sin x や、y = cos x など、三角比の関数のことです。x の所には、1°、2°　といった角度ではなく『ラジアンを単位とする角度』がよく用いられます。π ラジアン = 180° です。※ π≒ 3.14 のため、1 ラジアン ≒ 57°　となります。

三角比が直角三角形の比なので、x の所には 0 ~ 90°（0 ~ π/2 ラジアン）までしか入らないように感じると思います。ここで三角比の定義の拡張を行うことで、x にはどんな数値も入るようにすることができます。半径 1 の円（単位円）を考え、原点から θ 方向にビームを発射すると円とぶつかります。この点の y 座標が sin θ、x 座標が cos θ とする　というのが、拡張した三角比の定義です。また、tan θ = sin θ/cos θ です。

y = sinx、cosx、tanx は、定義からわかるように x = θ、θ + 2π、θ + 4π、、、の時に同じ値をとります。なぜかといえば、2 π = 360°なので、ぐるぐる回って結局ビームが同じ方向だからです。三角関数の最も大きな特徴は、周期性です。例えば波のような周期的現象を表せます。y = sin x、y = cos x についてグラフを以下に示します。

「代入しただけ・・・？」と感じると思いますが、あくまでも『限りなく近づいた時、限りなく近づく』ということを示しています。すなわち、その値をとっているわけではない、という点が重要です。

例として y = sinx/x を考えます。
分母に 0 はありえません。（これは数学的なルール）。そこで x → 0 を考えます。０に近づいた時どんな値になるんだろう・・・ sin0.1/0.1、sin0.01/0.01、sin0.001/0.001… と計算をしていくということです。このような考え方が「極限をとる」「極限を考える」という考え方です。

excel などで計算すると面白いのですが、この値は 1 に近づくことが知られています(!)。数学的な証明もあるのですが、計算機によって極限は数値的に結構簡単に追えるようになったので、色んな極限を計算してみるのも面白いかもしれません。

「なんとなく雰囲気はいいけど、どんな時に使うの・・・？」と考えるかもしれません。極限の概念は、濃度がとてつもなく薄くなった場合や濃くなった場合における 粘度について考える時などに表れてきます。また、接線の傾きについて考える時に極限の考え方が用いられます。

代表的な関数の導関数について以下、例をあげます。冒頭であげた定義に基づいて計算する必要はなく、代表的な関数の導関数がどのように表されるかをおさえ、具体的に計算できれば十分です。y = f(x) の時、微分することを「y’」で表します。

代表的な関数の導関数（公式）
y = xⁿ → y’ = nx^n-1
y = sinx → y’ = cosx
y = cosx → y’ = -sinx
y = e^x → y’ = e^x
y = log_ex → y’ = 1/x

合成関数と積の微分について補足します。
代表的な関数の「x」の所に、別の式が代入された形の関数を 合成関数といいます。y = x² の x の所に sinx が入った y = (sinx)² が、合成関数の一例です。 このような合成関数の微分においては「入り込んだ式の微分」を掛ける必要があるという点を忘れないでください。

すなわち
y = (sinx)² であれば、y = x² のように見て y’ = 2sinx で終わりではない、ということです。入り込んだ式 sinx の微分が cosx なので、この cosx を掛けます。つまり y’ = 2sinx cosx が計算結果です。

積の微分（f(x)g(x) の微分）について
例として xsinx の微分について補足します。
f(x)g(x) の微分は「f(x)g(x)+f(x)g(x)」とまず書いて、「’」をそれぞれの項に振り分けてあげてください。すなわち「f'(x)g(x) + f(x)g'(x)」が求める積の微分です。

xsinx の微分であれば、とりあえず xsinx + xsinx って書いて、その後それぞれの項の片方を微分してあげてください。 x の微分は 1、sinx の微分は cosx なので、1sinx + xcosx です。1は省略できるので、sinx + xcosx が導関数です。

最後に
微分表記について補足します。
「変数が x である」ということを強調し、y’ を「dy/dx」と書くことがあります。y = 2x の時、dy/dx = 2 となります。

微分の逆演算を積分といいます。
例として、y = 2x を考えます。y = 2x に対し「微分すると 2x になるものなんだ？」という問に答える計算が積分です。積分するというのを ∫ dx という記号で式を挟んで表します。y = 2x に対し、y の原始関数を大文字 Y とすると Y = ∫ 2x dx と書きます。計算結果は x² + C です。定数部分が確定しないため不定積分といいます。C を積分定数と呼びます。計算結果を微分して元に戻ったら積分成功です。

代表的な関数の不定積分（公式）
y = xⁿ → Y =xⁿ⁺¹/n+1 + C  ※n ≠ -1
y = 1/x → Y = log_ex + C
y = sinx → Y = -cosx
y = cosx → Y = sinx
y = e^x → Y = e^x
y = log_ex → Y = xlog_ex – x + C

不定積分において
x の範囲を a ~ b と定めたものを定積分といいます。∫_a^b 2x dx のように表します。この定積分は 『x = a ~ b において、y = 2x と y = 0 の間の部分の面積』を表します。以下のようなイメージです。

定積分の計算は
まず不定積分を行い、計算結果に a,b を代入します。それぞれ F(a) 、F(b) となります。F(b) ー F(a) が定積分の計算結果となります。数値の「上ー下」と意識するとよいです。先程の y = 2x について、x = 2~4 を考えてみましょう。まず不定積分は x² + C です。x = 2,4 をそれぞれ代入すると 4+C、16+C です。(16+C) – (4+C) = 12 となります。積分定数が消えて「答えが定まる」ので定積分です。そしてこの 12 が表しているのは、上図において a = 2 , b = 4 とした時の台形の面積です。

例）y’ = 2x + 1 → y = x² + x + C
例）y’ = y → y = Ce^x

微分方程式を解く
つまり y = ~ の形に直す際、任意定数 C を含む形を一般解といいます。微分方程式はそもそも解ける形と解けない形があります。さらに、微分方程式だけからは一般解しか求まりません。

微分方程式に加え
ある(x,y) について満たすべき初期条件や境界条件が与えられることがあります。その際は C が一意に定まります。C を含まない形の解を特殊解と呼びます。

例）y’ = 2x + 1、(x,y) = (0,1) を満たす
→ y = x² + x + 1 が特殊解となります。

一般に
dy/dx = f(x)g(y) で表される形の微分方程式を変数分離型と呼びます。変数分離と呼ばれる操作を用いて解けます。変数分離とは、f(x)dx = g(y)dy のように、式の片方に一方の文字を集めて分離するような式変形のことです。

薬学において重要な微分方程式は
血中濃度に関する速度反応式です。dC/dt = -kCⁿ ・・・（１）で表されます。t は時間、C は薬物濃度です。k,n は定数です。特に k を反応速度定数、n を反応次数と呼びます。変数分離型の微分方程式なので、解けます。

（１）の n = 0,1,2 の場合について
結論は 『C = ~』となります。以下、それぞれの微分方程式の式変形です。変数が C なので、積分定数を □ で表し、定数同士の計算で値が変わった場合を □’ としています。dC/dt を分数のように扱える点を意識し、変形を再現できるようにするとよいです。

多変数関数において
一つの変数に注目し、その他の変数を固定して定数とみなし、注目した変数で微分することを偏微分といいます。偏微分により求められる関数は偏導関数と呼びます。例えば x に注目して微分することを fx(x,y) や、df/dx、と表記します。

例）f(x,y) = x + y² を、x で偏微分
→ 1
例）f(x,y) = x + y² を、y で偏微分
→ 2y

となります。
※ 注目していない文字は定数だから、微分して 0 になっている点に気をつけてください。

順列は
『何個かの物からいくつかの物を取り出して並べる』場合の数 です。例として 1,2,3 という３個のものから 2 つとって並べる　という事柄を考えます。すると 1,2、1,3、2,1、2,3、3,1、3,2　という 6 通りとなります。 「n 個から r 個とって並べる」ことを nPr と表します。

組み合わせは
『何個かの物からいくつかの物を選ぶ』 場合の数です。例として 1,2,3 という 3 個のものから 2 つ選ぶ　という事柄を考えます。ここで重要なのは「組み合わせ」なので 1,2 をとった場合と 2,1 をとった場合は同じ組み合わせとなる、という点です。すると 1,2、1,3、2,3 の 3 通りとなります。「n 個から r 個選ぶ」ことを nCr と表します。

nPr、及び nCr について
簡単な計算で求める公式について補足します。

nPr は
「大きい方の n から n-r+1まで、1 ずつ数値を減らしつつ並べて、ばーっとかけたら終わり」です。先程の例の ₃P₂ では、n が 3、n-r + 1 が 2 なので、3×2 = 6 通りです。

もう少し大きい例として ₂₀P₃ を考えてみましょう。n が 20、n-r + 1 が 18 なので、20 × 19 × 18 = 6840 通りが答えです。

nCr は
「n! を分子に、r! と(n-r)!を分母において計算」です。「数字！」は、「数字から１つずつ数を減らしつつ 1 になるまで並べて、ばーっとかける」という計算を表します。先程の例の ₃C₂ では、n が3、r が 2、n-r が 1なので、3!/2!1! = 3×2×1/2×1×1 = 3 通りです。

もう少し大きい例として₂₀C₃ を考えてみましょう。n が 20、r が 3、n-r が 17 なので、20!/17!3! です。 分子の …17×16×… の部分は分子の 17! と約分されて消えるので、結局 20×19×18/3×2×1 = 1140 通りです。