⑶ 0.1 mol/L の CH₃COOH 水溶液の電離度を α とする。以下の問いに答えよ。ただし、温度は一定とする。

①　この溶液中の CH₃COO^– の濃度を α を用いて表せ。

②　この溶液中の CH₃COOH の濃度を α を用いて表せ。

③　CH₃COOH の電離定数を α を用いて表せ。

　解 説　　　　　

CH₃COOH は酢酸です。弱酸の一種です。水溶液中で、以下の式で表されるように電離します。
CH₃COOH ⇄ CH₃COO^– + H⁺

・電離前は CH₃COOH が 0.1 mol/L
CH₃COO^–、H⁺ は 0mol/L です。

・電離度 α なので
CH₃COOH の変化量が 「ー 0.1α」
CH₃COO^–、H⁺ の変化量は共に「0.1α」です。

① ですが
CH₃COO^– の濃度は 0.1α mol/L です。

② ですが
CH₃COOH の濃度は 0.1 － 0.1α = 0.1(1 － α) mol/L です。

③ ですが
電離定数を K とおくと
K = [CH₃COO^–][H⁺]/[CH₃COOH] です。これは基礎知識です。

① より、[CH₃COO^–] = 0.1α です。H⁺ の濃度も同じです。
② より、[CH₃COOH] = 0.1(1 － α) です。

従って
K = (0.1α)²/0.1(1 － α)
= 0.1 α²/(1 － α) です。

質量パーセント濃度 28.0 ％ の濃アンモニア水 (密度 0.900 g/cm³) を水 (密度 1.00 g/cm³) で希釈し、0.500 mol/L のアンモニア水 500 mL を調製するのに必要な濃アンモニア水は何mL か。値を求めよ。ただし、原子量は N = 14.0、H = 1.00 とする。

　解 説　　　　　

0.500 mol/L のアンモニア水 500 mL には
0.500 mol/L × 0.5L = 0.25 mol アンモニアが含まれます。

0.25 mol のアンモニアは、アンモニア NH₃ の分子量が 17 なので
0.25 × 17 = 4.25 g のアンモニアが必要であることがわかります。

質量パーセント濃度 28.0 ％ の濃アンモニア水 (密度 0.900 g/cm³) を 1cm³ 量りとると、その重さは、密度が 0.900 g/cm³ なので、0.900g です。その中にアンモニアは 28.0% 含まれるため、0.900g × 0.28 = 0.252g 含まれます。

1cm³ に 0.252g アンモニアが含まれるので、？cm³ に 0.252 × ? g アンモニアが含まれるとわかる。アンモニアが 4.25 g 含まれる時、? は何か　という問題に帰着します。※ 1 cm³ と 1 mL は同じ量を表します。

0.252 × ? = 4.25
→ ? = 4.25/0.252
→ ? = 4250/252 としてから筆算を行うと
計算できると思われます。? = 16.86… です。

問題文の数値が全て有効数値 3 桁なので
16.9 mL と数値を丸めます。必要な濃アンモニア水は 16.9mL です。

Ⅰ．以下の問いに答えよ。

⑴　分析に関する記述 ① ～ ④ について、妥当なものには ○ を、妥当でないものには × をそれぞれ記せ。

①　系統誤差では、正と負の誤差がほぼ等しい頻度で生じる。

②　濃アンモニア水はガラスを溶かすため、ポリエチレン容器に保管する。

③　O₂ の O の酸化数は 0 であり、O₃ の O の酸化数は -2 である。

④　玄米 1.10 g 中にカドミウムが 110 ng 含まれていた。この玄米中のカドミウムの濃度は、0.100 ppb である。

　解 説　　　　　

① ですが
誤差には系統誤差と偶然誤差（確率誤差）があります。系統誤差とは、ある特定の原因によって測定値が偏る誤差のことです。実験的に統制できる誤差です。一方、偶然誤差は偶然なので、コントロールできないものです。正と負の誤差がほぼ等しい頻度で生じるのは「偶然誤差（確率誤差）」です。① は ☓ です。

② ですが
濃アンモニア水をガラス棒の先につけて、濃塩酸に近づけると白煙を生じる。という反応を見たことがあるのではないでしょうか。（NH₃ + HCl → NH₄Cl）。もしも濃アンモニア水がガラスを溶かすのであれば、この実験においてガラス棒を使わないと考えられます。そのため、濃アンモニア水はガラスを溶かさないと考えられます。② は ☓ です。

③ ですが
電荷を持たない分子は、全体で酸化数０です。O₂ と同様に、O₃ における O の酸化数も０です。－２ではありません。③ は誤りです。

④ ですが
1ng = 1 × 10^-9 g です。1ppb = 10 億分の 1 = 1/1000000000 = 1 × 10^-9 です。1ppb は、具体的には 1g 中に 1ng 含まれる濃度を表します。

1.10 g 中にカドミウムが 1.10 ng 入っていれば、ちょうど 1ppb です。1.10 g 中にカドミウムが 110 ng 入っているのだから 100ppb です。0.1 ppb ではありません。④ は誤りです。

以上より
① ☓
② ☓
③ ☓
④ ☓　です。

1,1,3,1,3,5,1,3,5,7,1,・・・ のように、第 k 群が1,3,5,・・・, 2 k – 1 である数列を第 1 群、第 2 群、…と並べてできる全体の数列を考える。このとき、この数列の第 123 項の値はいくらか。

1． 1
2． 3
3． 5
4． 7
5． 9

　解 説　　　　　

各群の項の個数は
第 1 群 → 1 のみなので 1 個
第 2 群 → 1,3 なので 2 個
第 3 群 → 1,3,5 なので 3 個
・・・
第 n 群の項数は n 個 です。

1 + 2 + 3 + … を考えると
10 まで足せば 55
11 まで足せば 66
12 まで足せば 78
13 まで足せば 91
14 まで足せば 105
15 まで足せば 120 です。つまり、120 項目が ちょうど 第 15 群の終わりです。

従って
121 項目が 1
122 項目が 3
123 項目が 5 とわかります。

以上より、正解は 3 です。

次の四つの行列がある。
A： 3 行 2 列、B： 2 行 5 列、C： 5 行 1 列、D： 1 行 3 列

これらの積 ABCD を計算するとき、行列成分の乗算の回数が最小となる計算順序として正しいのはどれか。

1．(A (BC) ) D
2．A ( (BC) D )
3．A (B (CD) )
4．(AB) (CD)
5．( (AB) C ) D

　解 説　　　　　

選択肢 1,2 は、まず BC
選択肢 3,4 は、まず CD
選択肢 5 は、まず AB を計算しています。

一例として
「全成分が 1 である行列」を具体的に考えるとわかりやすいです。

まず BC を計算すると
10 回の掛け算で 「2 行 1 列」の行列ができます。

まず CD を計算すると
15 回の掛け算で 「5 行 3 列」の行列ができます。

まず AB を計算すると
15 回の掛け算で 「3 行 5 列」の行列ができます。

BC の方が掛け算の回数が少ない上に、できる行列も小さくて後の計算が少なくてすみそうです。選択肢 1,2 のどちらかが答えと考えられます。

選択肢 1,2 のうちどちらがより掛け算の回数が少ないか考えます。選択肢 1 は次に A との積、選択肢 2 は次に D との積を計算しています。

A (BC)：6 回の掛け算で「3 行 1 列」になります。
(BC)D：6 回の掛け算で「2 行 3 列」になります。

A (BC) の方ができる行列は小さくなります。従って、選択肢 1 の方が、行列成分の乗算の回数が少ないと考えられます。

※最後まで具体的に考えてもかまいません。また、選択肢 3,4,5 についても、具体的に最後まで乗算回数を評価してもよいです。

以上より、正解は 1 です。

0 ≦ x ≦ π の範囲で、cos (πcosx) = 1/2 を満たす実数 x はいくつあるか。

1． 1 個
2． 2 個
3． 3 個
4． 4 個
5． 5 個

　解 説　　　　　

π cosx を θ とおきます。何かを別の文字で置いたらすぐ範囲を確認します。
0 ≦ x ≦ π なので、-1 ≦ cosx ≦ 1 です。従って、－π ≦ θ ≦ π です。 

cos θ = 1/2 → θ = ± π/3 です。
θ を元に戻すと π cosx = ± π/3 です。

つまり、cos x  = ± 1/3 を満たすような x が
0 ≦ x ≦ π でいくつあるか という問に帰着します。

単位円を考えれば
具体的な x の値はわかりませんが、x が 2 つあることはわかります。

以上より、正解は 2 です。

1． 0
2． 1
3． 2
4． 3
5． 4

　解 説　　　　　

|a| = 1、|b| = 1 の時に |a + b| の最大値であれば簡単なのですが、少しひねりのあるベクトルの問題になっています。初見で数分間で解くのは少し難しい印象です。

簡単な問題の形に合わせるために u = a、v = 2a + b とおきます。すると a + b を以下のように u,v を使って表せます。

整理すれば
|u| = 1,|v| = 1 の時 |－u + v| の最大値を求めればよい問題になります。

u,v は 共に絶対値が 1 なので、図形的には「原点中心、半径 1 の円上の点」と「原点」を結んだ矢印ベクトルです。

従って、図形的に考えれば |－u + v| の最大値 はすぐに 2 とわかるかもしれません。

図形的にピンとこなければ、ベクトルの定石である絶対値の 2 乗で計算すればよいです。|-u + v| = k とおき、両辺を 2 乗します。

|u|² = |v|² = 1 より -2 u・v の範囲が問題となります。u・v = |u||v|cosθ より u・v = cos θ です。-1 ≦ cos θ ≦ 1 です。これは三角関数の基礎知識です。

従って
k² の最大値が 1 + 1 + 2 = 4 です。
→ k の最大値は 2 とわかります。※「選択肢は 3」となる点に注意！ 

以上より、正解は 3 です。

　解 説　　　　　

上のような例を考えます。

㋐ ですが
左辺は {1,2,3,8,9,10} になるため、X にはなりません。反例がみつかったので、㋐ は誤りです。

㋑ ですが
まず、ド・モルガルの定理から左辺は (A ∩ B) ∩ (C ∩ D) です。そして、変形後の左辺：(A ∩ B) ∩ (C ∩ D) は、例であれば {2,3,4,5,6,7} ∩ {4,5,6,7,8,9} → {4,5,6,7} となります。Φ ではありません。㋑ は誤りです。

以上より、正解は 5 です。

16 進法で 8 桁の正の整数 n と 4 桁の正の整数 m がある。n/m の整数部分は 4 進法では最大何桁となるか。

1． 7 桁
2． 8 桁
3． 9 桁
4． 10 桁
5． 11 桁

　解 説　　　　　

n/m は「分子である n が大きいほど」、「分母である m が小さいほど」大きくなります。

・16 進数 8 桁の最大値は
FFFFFFFF
= 100000000 － 1
= 16⁸ － 1　です。これを n とします。

・16 進数 4 桁の最小値は
1000
= 16³ です。これを m とします。

n/m
= (16⁸ － 1) ÷ 16³
= 16⁵ － 1/16³ と表すことができます。

16⁵ を 4 進数で表せば
10000000000 です。11 桁です。

16⁵ － 1/16³ の整数部分は 4 進数で表せば
3333333333 です。10 桁になります。

従って
n/m の整数部分は 最大 10 桁です。

以上より、正解は 4 です。

次の記述のうち、パスワードリスト攻撃に該当するものとして最も妥当なのはどれか。

1．想定され得るパスワードとあらかじめ計算したハッシュ値との対のリストを作成し、入手したハッシュ値からパスワードを解析して、Web サイトへのログインを試行する。

2．一般的な単語や人名からパスワードとして使われそうな文字列のリストを作成し、Web サイトへのログインを試行する。

3．ある Web サイトで流出した利用者ID とパスワードのリストを用いて、他のWeb サイトへのログインを試行する。

4．Web サイトで使われそうな利用者 ID を利用し、パスワードに全ての文字列の組合せを一つずつ用いて、Web サイトへのログインを試行する。

5．あるサーバに対する通信を盗聴し、入手した利用者 ID とパスワードをそのまま利用して、そのサーバへのログインを試行する。

　解 説　　　　　

選択肢 1 ですが
「想定され得るパスワードとあらかじめ計算したハッシュ値との対のリストを作成」しておくのは「レインボーテーブル攻撃」です。パスワードリスト攻撃ではありません。選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 ですが
「一般的な単語や人名からパスワードとして使われそうな文字列のリストを作成」のは「辞書攻撃」です。パスワードリスト攻撃ではありません。選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 は妥当です。
パスワードリスト攻撃についての記述です。

選択肢 4 ですが
「全ての文字列組み合わせを用いる」のは「総当たり攻撃 (ブルートフォース攻撃)」 です。パスワードリスト攻撃ではありません。選択肢 4 は誤りです。

選択肢 5 ですが
通信を盗聴し得られたデータをそのまま利用するのは 「反射攻撃 (リプライ攻撃)」 です。パスワードリスト攻撃ではありません。選択肢 5 は誤りです。

以上より、正解は 3 です。