ある集団を対象として持ち物について尋ねたところ次のことが分かった。このとき論理的に確実にいえるのはどれか。

○ ライターを持っている人はタバコを持っている。
○ ハンカチを持っていない人は手帳を持っていない。
○ タバコを持っている人は手帳と折りたたみ傘の両方を持っている。

1. 手帳を持っていない人はハンカチを持っていない。
2. 手帳を持っている人はライターを持っている。
3. タバコを持っていない人は折りたたみ傘を持っていない。
4. ライターを持っている人はハンカチを持っている。
5. 折りたたみ傘を持っている人はタバコを持っている。

　解 説　　　　　

◯◯は△△　というフレーズなので命題です。対偶を考えて並べます。ライターを「ラ」、タバコを「タ」、ハンカチを「ハ」、手帳を「手」、折りたたみ傘を「折」と略します。持っているを「◯」、持っていないを「☓」とします。

・ラ◯→タ◯　対偶：タ☓→ラ☓
・ハ☓→手☓　対偶：手◯→ハ◯
・タ◯→手◯ and 折◯　対偶：手☓ or 折☓ →タ☓　とまとめることができます。これをふまえ、各選択肢を検討します。

選択肢 1 ですが、手☓→タ☓→ラ☓　はわかりますが、ハ☓にはつながりません。よって、選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 ですが、手◯→ハ◯　しかわかりません。ラ◯にはつながりません。よって、選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 ですが、タ☓→ラ☓で終わりです。折☓にはつながりません。よって、選択肢 3 は誤りです。

選択肢 4 は確実です。ラ◯→タ◯→手◯ and ◯、手◯→ハ◯　です。

選択肢 5 ですが、折◯からは何もわかりません。よって、選択肢 5 は誤りです。

以上より、正解は 4 です。

Ａ～Ｅの５人に目隠しをし白又は赤の帽子をかぶせた。帽子の正面には１～５のそれぞれ異なる数字が一つだけ書かれている。目隠しを外し自分以外の４人がかぶっている帽子についてＡ～Ｄが次のように述べているとき確実にいえるのはどれか。

Ａ：「白、赤の帽子をかぶっている者がそれぞれ２人おり白の帽子に書かれた数字の和は５である。」
Ｂ：「白、赤の帽子をかぶっている者がそれぞれ２人おり白の帽子に書かれた数字の和と赤の帽子に書かれた数字の和は等しい。」
Ｃ：「４人の帽子に書かれた数字の和は11である。」
Ｄ：「白の帽子をかぶっている者が３人いる。また赤の帽子をかぶっている者が１人おりその帽子に書かれた数字は５である。」

1. Ａは数字の２が書かれた白の帽子をかぶっている。
2. Ｂは数字の１が書かれた白の帽子をかぶっている。
3. Ｃは数字の４が書かれた赤の帽子をかぶっている。
4. Ｄは数字の３が書かれた赤の帽子をかぶっている。
5. Ｅは数字の２が書かれた白の帽子をかぶっている。

　解 説　　　　　

色、数字についての情報を分けて考えます。まず、色だけに注目します。

A から見て、白、赤、２人ずつ→「B,C,D,E　の中に 白２、赤２」とわかります。同様に、B から見て、白、赤、２人ずつ→「A,C,D,E　の中に白２、赤２」です。A と B を入れ替えても白、赤の数に変化がないため、A,B は 同じ色の帽子をかぶっています。

D から見て、白３人、赤１人（数字は５）→「A,B,C,E の中に白３、赤１」です。B,C,D,E だと 白２，赤２ だったのだから、A と D を入れ替えて白が１減り、赤が１増えています。従って、A 白（A,B同じ色なので、B も白）、D 赤です。C,E のうちどちらかが白、どちらかが赤の５をかぶっています。

ここまでを表にまとめると以下のようになります。

次に数字に注目します。 まず、Aの発言です。「A から見て、白の数字の和が５」ということは、「１と４」か「２と３」の組み合わせとわかります。適当に B を白１と決めつけてみます。すると、C or E のかぶっている白の帽子が白４のはずです。

次に、B の発言に注目します。B から見える赤の帽子の数のうち１個は５です。残っている数は２と３なので、「白の数字の和と、赤の数字の和が等しい」のなら、Dの赤帽子の数は２で、A の帽子は白３のはずです。

すると、C からみたA,B,D,E の数は３，１，２，？です。「和が１１」なので、Eの帽子は５です。５ということは赤です。一例として、以下のような組み合わせが OK とわかりました。

選択肢 を検討すると
選択肢 1 は、数字が違います。
選択肢 2 は、妥当です。
選択肢 3 は、色が違います。
選択肢 4 は、数字が違います。
選択肢 5 ですが、色も数字も違います。

以上より、正解は 2 です。

ある工場に勤める従業員は、全員タイムカードによって出退勤並びに昼休みの外出及 び戻り時刻が記録されている。またこの工場には正門と西門と通用門があり出退勤時には正門と西門が使用され、昼休みには通用門のみが使用される。

Ａ～Ｅの５人の従業員のうち２人が同じ部署に所属し、それ以外はそれぞれ別々の部署に所属している。

ある日各門で監視していた守衛が以下のとおり述べており、また同日のタイムカードによる出退勤並びに昼休みの外出及び戻り時刻は表のとおりであったとすると、同じ部署に所属する従業員２人は誰と誰か。

なお守衛はＡ～Ｅの５人のみに関して述べているものとする。

正門の守衛：「出勤時にも退勤時にも同じ部署に所属する従業員２人のうち１人しか見なかった。」
西門の守衛：「同じ部署に所属する従業員が同時刻に２人出勤するところは見なかった。」
通用門の守衛：「同じ部署に所属する従業員が同時刻に２人出ていくところも、同時刻に２人入ってくるところも見なかった。」

1. ＡとＤ
2. ＡとＥ
3. ＢとＣ
4. ＢとＤ
5. ＣとＥ

　解 説　　　　　

公務員試験の戦術として、常に頭に入れておきたい「選択肢の活用」が有効です。

選択肢 1 が正解と仮定します。すると、退勤時 2 人は同時刻に西門から出ています。片方が正門に見られている事に矛盾します。よって、選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 が正解と仮定します。すると、昼休みの戻りが同時刻なので、通用門に見られていない事に矛盾します。よって、選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 が正解と仮定します。 退勤が共に正門なので、正門に片方しか見られていない事に矛盾します。よって、選択肢 3 は誤りです。

選択肢 4 は、矛盾しません。

選択肢 5 ですが、出勤、退勤共に正門の発言と矛盾します。よって、選択肢 5 は誤りです。

以上より、正解は 4 です。

ある説明会において図のような５列×６列の座席を用意していたところ空席が六つ残った。空席について次のことが分かっているとき確実にいえるのはどれか。

○ １～６列のうち二つ以上の空席がある列はなかった。
○ Ａ～Ｅ列のうち三つ以上の空席がある列はなかった。
○ Ｃ列の一番後ろの席とその両隣及び一つ前の席は空席ではなかった。
○ Ｅ列には空席がなかった。
○ 前後左右斜めのいずれの方向にも空席は連続していなかった。

1. Ａ列の空席は一つだけであった。
2. Ｂ列に空席はなかった。
3. Ｃ列に空席はなかった。
4. Ｃ列の一番前の席は空席だった。
5. Ｄ列の一番前の席は空席だった。

条件の 3 番目と 4 番目から、E 列及び、C 列一番後ろと隣接する席は空席ではありません。また、空席が６つあり、１～６列に、２以上の空席がある列がない＝「１～６列に１つずつ空席」とわかります。従って、6A は空席です。

条件の５番目から、空席に隣接する席は空席でないため、5D 空席も確定します。さらに、５D の周囲も空席ではないことがわかります。

ここまでの内容を表でまとめると、以下のようになります。◯ が空席です。空席でないと確定した席を黒く塗りつぶしています。

４列の A,B のどちらかが空席です。そこで、4 列の B を空席と仮定して考えると、条件を満たす１例として、以下のような組み合わせが見つかります。

以上をふまえ、選択肢を検討します。

選択肢 1 ですが
A 列の空席は 2 つです。

選択肢 2 ですが
B 列に空席はあります。

選択肢 3 ですが
C 列に空席はあります。

選択肢 4 は、確実です。

選択肢 5 ですが
D1 は空席ではありません。

以上より、正解は 4 です。

図のような道路がある町において、道路を進む際、進むことのできる道路の方向が、東方向、北方向、及び北東方向の３方向に限られるとき、図のＡ地点からＢ地点を経由してＣ地点へ行く道順は何通りあるか。

1. 65通り
2. 78通り
3. 84通り
4. 91通り
5. 98通り

　解 説　　　　　

簡単な最短経路から考えていくとよいです。
北東がない、最小の四角い区画を考えます。

A から右上の点に行くには、まず右に行くか、まず上にいくかです。それぞれ１通りしかありません。それぞれの点に、その点に行く通りを小さくメモします。

すると、A の右上の点には、１＋１で２通りの行き方があります。下図のようにまとめることができます。

斜めもある場合、A 点は start 地点なので、この点までの通りは１通りです。その１通りを更に足す必要があります。以下のように表すことができます。

これをふまえ、A からの行き方が １通りしかない東のみ進めば到達できる点と、北のみ進めば到達できる点に１を打ちまくり「ある点から見て左と下と左下の数値が揃ったら足す」という操作を続ければ、各点への道順がわかります。初めの方を図示すると、以下のようになります。

すると、まず B までの経路は 5 + 3 + 5 = 13 です。

また、B から C までの経路は、下図における A→C’ と同じなので 7 通りです。

よって、A → B → C は 13 × 7 = 91 通りとわかります。

以上より、正解は 4 です。

図のように一辺の長さが１の二つの正方形が重なり合っている。このとき斜線部分の面積はいくらか。

　解 説　　　　　

前提知識として、直角二等辺三角形の辺の比は１：１：√２です。√２とは、大体 1.4 です。ちょうど 45 °なので、以下のように各辺を延長した補助線を書いてみます。

斜辺部の面積は、正方形の半分＝面積 1/2 から、底辺、高さが共に「√2 －１」の三角形の面積を引けばよいとわかります。（√2ー１）² は、３－2√2 なので、白い三角形の部分の面積は（３－2√2 )/2 です。

1/2 ー｛（３－2√2 )/2 ｝ = √２－１です。よって、正解は 2 です。

ちなみに、大雑把な面積比較も、ぜひ覚えておいて欲しい解き方です。
本問における面積は、正方形の半分より少し小さいから、0.5 より小さい、大体 0.4 ぐらいと大雑把に面積を評価できます。

そこで、選択肢 に注目すると、√ 2 ≒ 1.4 と読めば、選択肢 1 は 0.2 、選択肢 2 は 0.4 、選択肢 3 は 0.35 、選択肢 4 は 0.7、選択肢 5 は 1.2 です。少なくとも 1,4,5 は明らかに誤りです。

さらに、以下のように評価すると、白い部分 5 個でも 半分には満たないから、白い部分は 0.1 よりは小さい→ 0.5 ー 「0.1 より小さい値」＝0.4… となるので、選択肢 3 も誤りと考えることができます。

面積をばしっと求めることができなくても、大雑把な評価で一つでも選択肢を消す　という戦術はぜひ頭の片隅に入れておくとよいです。

一辺の長さが１の線分を三つ組み合わせてできる次の図形Ａ Ｂ Ｃのうち、同じものを四つ用いることで図のような一辺の長さが１の正六面体(辺のみ)ができるもののみを全て挙げているのはどれか。

1. Ａ
2. Ａ Ｂ Ｃ
3. Ａ Ｃ
4. Ｂ
5. Ｂ Ｃ

　解 説　　　　　

A について、以下の図のように４つ用いると、正六面体ができます。

次に、B について、以下の図のように４つ用いると、正六面体ができます。

A,B ができるので、正解は 2 です。

ある工場では、Ａ Ｂ Ｃの３人の従業員がそれぞれ単独で製品を作っている。仮に休まずに製品を作ったとすると1,000個目の製品が作られるのは、それぞれ最短でＡとＢの２人では42日目、ＡとＣの２人では48日目、ＢとＣの２人では53日目である。

この３人が同日に作り始めかつ３日働くと１日休むこととすれば、1,000個目の製品が作られるのは最短で何日目か。なおＡ Ｂ Ｃが１日に作る製品の個数はそれぞれ一定でありまた、日をまたいで１個の製品を作ることはしないものとする。

1. 42日目
2. 43日目
3. 44日目
4. 45日目
5. 46日目

　解 説　　　　　

A と B だと・・・、A と C だと・・・といった形式の文章が続いているので「仕事算」と判断します。普通なら全仕事を 1 と置くのですが、本問は 1000 個目の製品がポイントなので、1000 個を全仕事として考えます。

A と B で 42 日目に 1000 個目が作られるということで、1000 ÷ 42 を計算してみます。 1000÷ 42 = 23,… です。1 日で 23 個ずつ作っていると足りないので、A と B は 2 人で、1 日で 24 個作った　とわかります。

同様に考えると、1000 ÷ 48 = 20,… なので、A と C は 2 人で、１日で 21 個作った とわかります。 1000 ÷ 53 = 18,… なので、B と C の 2 人で、1 日で 19 個作ったとわかります。

すると （A+B）＋（A＋C）＋（B+C）＝24+21+19 = 64 個です。両辺 2 で割れば A + B + C = 32 です。つまり、3 人で作れば、1 日 32 個作れるとわかります。３日働いて１日休むので 40 日経った時点で 960 個できてます。

41 日目で 992 個できるので、1000 個目ができるのは 42 日目です。

以上より、正解は 1 です。

４桁の正の整数Ｎがある。この整数Ｎの百の位の数字と十の位の数字は同じであり一の位から千の位までの各位の数字の和は17である。また千の位の数字は百の位の数字の２倍であり一の位と千の位の数字を入れ替えた整数は元の整数Ｎより6993小さい。

元の整数Ｎの一の位の数字はどれか。

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

　解 説　　　　　

一の位と千の位を入れ替えて　元より 6993 小さくなっていることから、元々の千の位は最低でも 7 です。7 なら一の位は 0、8 なら 1、9 なら 2 だろうと考えられます。さらに「千の位が、百の位の２倍」という条件から、千の位は偶数です。

よって「千の位 8、一の位 1 」という組み合わせと確定します。これにより、百の位は千の位の半分だから、元の整数 N とは、8441 と確定します。

よって、正解は 1 です。

ちなみに、入れ替えて差を確認すると、8441ー1448 = 6993 が確かに成立しています。

長さ240m の列車Ａと長さ120m の列車Ｂがトンネルの両側から同時に入った。列車Ａの最前部がトンネルに入ってから最後部がトンネルに入るまでに10秒かかった。

両列車がトンネル内ですれ違い始めてからすれ違い終わるまでに９秒かかりその後列車Ａは15秒後に列車Ｂは45秒後にそれぞれ最前部がトンネルの出口に到達した。

このときトンネルの長さは何m か。ただし両列車の速さはそれぞれ一定であるものとする。

1. 1,280m
2. 1,360m
3. 1,440m
4. 1,520m
5. 1,600m

　解 説　　　　　

「長さのある列車」では「一点に注目して移動距離を考える」のがポイントです。
列車 A の先っぽ （赤△） に注目します。列車 A は 240m を 10 秒で進んでいるため、1 秒で 24m 進んでいます。

「両列車がすれ違い始めてからすれ違い終わるまで９秒」をイメージするのは少しむずかしいポイントです。この場合のコツですが、両方動いて難しいなら、片方を止めて考えるとよいです。

B が止まっている場合を考え、A B がであい、すれ違い終わるまでを考えると、走った距離は A,B の電車の長さの和となります。つまり、本問であれば、360 m です。

360m を 9 秒なので、1 秒 40m 進んでいます。この 1 秒間に 40m というのは、列車 A 及び 列車 B の秒速の和です。列車 A の秒速は 24m だったので、列車 B は １秒で 16m 進んでいるとわかります。

列車 A、B が同時にトンネルに入り、速さの比が ２４：１６＝３：２なので、進んだ距離の比も３：２です。そしてトンネルの途中で出会い、９秒ですれ違い、１５秒後、列車 A はトンネル出口に到達したことから、比でいう②が24秒です。

よって、比でいう③が36秒です。合わせて、列車 A は ６０秒でトンネル長さ分走っている　とわかります。24 × 60 = 1440 m です。正解は 3 です。