一つの図形が描かれたカードが多数あり、描かれた図形について、形は「三角形」、「四角形」、「丸」、色は「赤」、「青」、「黄」、大きさは「大」、「中」、「小」のそれぞれ 3 種類に分類することができる。描かれた図形について次のことが分かっているとき、論理的に確実にいえることとして最も妥当なのはどれか。

○　形が「三角形」ならば、大きさは「大」である。
○　形が「四角形」ならば、色は「赤」又は「青」である。
○　色が「赤」ならば、大きさは「大」又は「中」である。
○　色が「青」ならば、大きさは「小」である。
○　色が「黄」ならば、形は「丸」である。
○　大きさが「大」ならば、色は「赤」又は「黄」である。

1．形が「三角形」かつ大きさが「大」ならば、色は「黄」である。
2．形が「四角形」かつ大きさが「小」ならば、色は「青」である。
3．形が「丸」かつ色が「黄」ならば、大きさは「大」である。
4．色が「赤」かつ大きさが「中」ならば、形は「三角形」である。
5．色が「黄」かつ大きさが「中」の図形は存在しない。

　解 説　　　　　

◯◯ ならば △△ というのは、いいかえれば ◯◯ は △△ というフレーズなので命題です。対偶を考えて並べます。以降、三角形は「三」、四角形は「四」と略します。

※本問題における注意点として
対偶を考える際に、形に関して例えば「三角形でない」という条件は「四角形　or　丸」となる点があげられます。同様に、色に関して例えば「赤でない」という条件は「青　or　黄」となります。

注意点を意識すると
与えられた条件と対偶は、以下のように表されます。

・三 → 大　　　  対偶：中 or 小 → 四 or 丸　・・・１
・四 → 赤 or 青　対偶：黄 → 三 or 丸　・・・２
・赤 → 大 or 中　対偶：小 → 青 or 黄　・・・３
・青 → 小　　　  対偶：中 or 大 → 赤 or 黄　・・・４
・黄 → 丸　　　  対偶：三 or 四 → 赤 or 青　・・・５
・大 → 赤 or 黄　対偶：青 → 中 or 小　・・・６　　

以上をふまえ、各選択肢を検討します。

選択肢 1 ですが
条件５対偶より 三 → 赤 or 青　です。黄色ではありません。選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 は妥当です。
条件２より、四 → 赤 or 青、条件３対偶より、小 → 青 or 黄　です。赤 or 青　かつ　青 or 黄なら、青で間違いありません。

正解が見つかったため、選択肢 3 以降について、検討は不要です。本番では、選択肢 3 以降を全く検討しないのは不安かもしれません。その場合は番号に印をつけておき、ほかの問題を解き終わって時間が余った時見直すという流れが おすすめです。

以上より、正解は 2 です。

類題 2021 no8 命題

ある高校の生物部では、アヒル、カメ、金魚、グッピー、メダカの 5 種類の生き物を飼育しており、部員である Ａ～Ｅ の 5 人は、これらの飼育係である。5 人はそれぞれ 2 種類の生き物を担当しており、その組合せが同じ者はいない。次のことが分かっているとき、確実にいえることとして最も妥当なのはどれか。

○ アヒルを担当している者は 3 人であり、金魚を担当している者は 2 人である。また、3 人以上に担当されている生き物は、アヒルのみである。

○ メダカを担当している者は、Ｃ のみである。

○ Ａ は、カメを担当しており、金魚は担当していない。

○ Ａ、Ｂ、Ｄ が担当する生き物は、アヒル、カメ、金魚の 3 種類のうちのどれかである。ただし、同じ生き物を Ａ、Ｂ、Ｄ の 3 人で担当してはいない。

○ Ｅは、グッピーを担当している。

1．アヒルを担当していない者は、Ｂ と Ｃ である。
2．Ａ と Ｅ は、ある同じ生き物を担当している。
3．Ｂ と Ｄ は、アヒルを担当している。
4．Ｃ は、金魚を担当している。
5．Ｅ は、カメを担当している。

　解 説　　　　　

5 人が、何を担当するか　という「人ー属性」対応の問題です。no9 定番の問題です。対応表を考えます。

問題文の条件から
・メダカ担当 C のみ
・A はカメ担当、金魚は担当していない
・E はグッピー担当　なので、◯☓ をつけて整理すると、以下のようになります。

また、４つ目の条件より、A,B,D はグッピー担当ではありません。これにより、A が担当する２種類は、アヒルとカメと確定します。

グッピーの列が大分埋まっていることに注目して考えます。すると、C がグッピーを担当しなかったとすると「３人以上担当されている生き物がアヒルだけ」という条件から、◯ の数が不足してしまうので、ダメです。◯ の数は５人がそれぞれ２種類生き物担当なので１０個必要です。

従って、C はグッピー担当となります。これにより、C が担当する２種類の生き物はグッピーとメダカと確定します。この結果を表に埋めると、下図のようになります。

１つ目の条件からアヒル担当は３人です。そして、４つ目の条件からアヒル担当「A,B,D」という組み合わせはありません。従って、アヒル担当は A,B,E or A,D,E です。どちらにしても E はアヒル担当です。これにより、E の担当がアヒルとグッピーと確定します。

金魚の列に注目すると、B,D が金魚担当とわかります。

以上をふまえ、各選択肢を順に検討します。

選択肢 1 ですが
アヒルを担当していないのは、C ☓ 確定ですが、B については確定しません。選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 は妥当です。
A,E は共にアヒルを担当しています。正解が見つかったので、以降は検討不要です。

以上より、正解は 2 です。

類題 2021 年 no9　対応関係

ＡとＢがじゃんけんを 5 回する。あいこの場合も 1 回と数えることとし、1 回ごとに表のとおり得点を与え、5 回の合計得点をそれぞれ算出することとした。次のことが分かっているとき、確実にいえることとして最も妥当なのはどれか。

1．Ａ は 5 回中 1 回だけパーを出した。
2． 1 回目は Ａ が勝った。
3． 5 回目は Ｂ が勝った。
4．合計得点は Ｂ の方が高かった。
5．Ａ と Ｂ の合計得点の差は 6 点である。

　解 説　　　　　

・３回目に A がグーで勝っているので、３回目は、A：グー、B：チョキとわかります。

・B がグーを出さなくて、かつ、連続して同じ手を出さないことから、２回目と４回目の B はパーです。

・４回目はあいこなので、A：パー、B：パーとわかります。

ここまでを表形式にまとめると、以下のようになります。

・２人とも連続して同じ手を出さなかったので、２回目の A はグーではありません。５回目の A はパーではありません。また、１回目の B はパーではありません。５回目の B もパーではありません。

追加すると、以下のようになります。

 B はチョキ、パー、チョキ、パー、チョキと出したことが確定します。

・あいこになったのが４回目だけなので、A の１回目はチョキではありません。A の２回目はパーではありません。A の５回目はチョキではありません。

追加すると、以下の通りです。

これで１回目以外については A,B 共に確定しました。A は 2,3,5 回目に勝っているので、1 回目は負けなければ条件を満たしません。従って、１回目の A はパーです。

得点の変化も追ってまとめると
１回目　A：パー、B：チョキ　A の負け　A：－３、B：＋２

２回目　A：チョキ、B：パー　A の勝ち　A：－１、B：－１

３回目　A：グー、B：チョキ　A の勝ち　A：０、B：－３

４回目　A：パー、B：パー　あいこ　　　変わらず

５回目　A：グー、B：チョキ　A の勝ち　A：＋１、B：－５　となります。これらをふまえ、各選択肢を検討します。

選択肢 1 ですが
A は 1,4 回目のパーを出しています。選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 ですが
１回目は A の負けです。選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 ですが
５回目は A の勝ちです。選択肢 3 は誤りです。

選択肢 4 ですが
合計点は A の方が高かったです。選択肢 4 は誤りです。

以上より、正解は 5 です。

ある動物園では、キツネ、サル、タヌキをそれぞれ 1 匹飼っており、ニンジン、バナナ、トウモロコシの 3 種類の餌を食べさせることとした。

ある日の午前に、ニンジン、バナナ、トウモロコシをそれぞれ 6 本用意し、餌場に合計 18 本の餌を置いたところ、3 匹の動物は、それぞれ 3 種類全ての餌を食べ、その合計は、キツネは 7 本、サルは 6 本、タヌキは 5 本であった。

その日の午後に、新たにニンジン、バナナ、トウモロコシをそれぞれ 1 本用意し、餌場に合計 3 本の餌を置いて自由に食べさせた。

その結果、1 日（午前と午後の合計）で、3 匹の動物が食べた 3 種類の餌の合計は、キツネは 9 本、サルは 6 本、タヌキは 6 本となった。次のことが分かっているとき、確実にいえることとして最も妥当なのはどれか。

○　午前に食べられた餌についてみたとき、それぞれの動物が食べた餌の数は、3 種類とも全て異なっていた（例えば、ニンジンを、キツネが 2 本、サルが 2 本、タヌキが 2 本食べたということや、バナナを、キツネが 4 本、サルが 1 本、タヌキが 1 本食べたということはなかった）。

○　1 日（午前と午後の合計）で食べられた餌についてみたとき、それぞれの動物が食べた餌の数は、3 種類とも全て異なっていた。

○　午後に、タヌキはバナナを食べた。

○　サルが 1 日で食べた餌は、ニンジン 2 本、バナナ 2 本、トウモロコシ 2 本であった。

1．キツネは午前に、ニンジンを2 本食べた。
2．キツネは1 日で、トウモロコシを3 本食べた。
3．タヌキは1 日で、バナナを3 本食べた。
4．キツネが1 日で食べたバナナの数と、タヌキが1 日で食べたトウモロコシの数は同じであった。
5．キツネが午前に食べたバナナとトウモロコシの数の合計は、3 本だった。

　解 説　　　　　

情報処理、推理といった問題です。必要な知識はありません。

・午前に　ニンジン × ６、バナナ × ６、トウモロコシ × ６を用意しています。午後に　ニンジン × １、バナナ × １、トウモロコシ × １を用意しています。

・午前に　キツネは合計７本、サルは合計６本、タヌキは合計５本食べました。午後と合わせてキツネは合計９本、サルは６本、タヌキは６本食べました。とあるので、午後サルは何も食べていません。

・３つ目の条件から、午後にタヌキはバナナを食べたとあります。従って、午後キツネが食べたのは、ニンジンとトウモロコシです。

・サルは午前食べたものが、そのまま１日合計となります。４つ目の条件から、サルはニンジン×２、バナナ×２、トウモロコシ×２を食べた　ことがわかります。

さらに、問題文中の下線部前後に、「午前中に３匹の動物が３種類全ての餌を食べた」とあることから、３匹とも　ニンジン、バナナ、トウモロコシを最低１本は食べています。

ここまでをまとめて、絵で表すと以下のようになります。

・２つ目の条件にある「１日で食べられた餌について、それぞれの動物が食べた餌の数が３種類とも異なっていた」ことに注目します。

サルがバナナ２個なので、タヌキはバナナを最低でも１つ、午前に食べています。そして、タヌキがバナナ１つしか食べていなかった場合、残りの１つのバナナをキツネが食べたことになります。ところがそうすると、キツネがバナナ２個となってサルとかぶってしまい、不適切です。

従って、午前中にタヌキがバナナ２つを食べた　ことがわかります。そして、午前中の残りのニンジン × ２，トウモロコシ × ２は、キツネが午前中に食べた　ことがわかります。

以上をふまえ、各選択肢を検討します。

選択肢 1 ですが
キツネは午前中に、ニンジン３本です。選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 ですが
キツネは１日に、トウモロコシ４本です。選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 ですが
タヌキは１日に、バナナ４本です。選択肢 3 は誤りです。

選択肢 4 は妥当です。
共に１本です。

選択肢 5 ですが
キツネが午前に食べたバナナとトウモロコシの合計は４本です。選択肢 5 は誤りです。

以上より、正解は 4 です。

モモ、カキ、オレンジ、リンゴ、ナシの 5 種類の果物の重量について以下のことが分かっているとき、確実にいえることとして最も妥当なのはどれか。

○　モモとカキの重量差は 80 グラムであり、カキの方が重い。

○　カキとオレンジの重量差は 40 グラムである。

○　オレンジとリンゴの重量差は 20 グラムである。

○　リンゴとナシの重量差は 40 グラムである。

○　ナシとモモの重量差は 20 グラムである。

○　カキは 200 グラムである。

1．最も重いのがカキである場合、最も軽いのはリンゴである。

2．2 番目に重いのがオレンジである場合、3 番目に重いのはモモである。

3．3 番目に重いのがリンゴである場合、2 番目に軽いのはモモである。

4．2 番目に軽いのがナシである場合、最も重いのはリンゴである。

5．最も軽いのがモモである場合、3 番目に重いのはカキである。

　解 説　　　　　

知識不要、情報処理系の問題です。箇条書きの条件を上から、条件１、条件２、、、条件６とおきます。

条件１，６からカキ 200g、モモ 120g です。重量が確定しない果物はオレンジ、リンゴ、ナシの３種類です。

カキ 200g と決まったので、条件２からオレンジは 240g or 160g です。また、条件３から、このオレンジとリンゴの差が 20g でないといけません。

モモは 120g なので、条件５からナシは 140g or 100g です。また、条件４からナシとリンゴの重量差は 40g でないといけません。

表にまとめると 、以下のようになります。

すると、オレンジとリンゴの差が 20 ですが、オレンジを重たい方の 240g と仮定すると、リンゴが 220g or 260g となり、ナシとの差 20g という条件を満たせません。そのため、オレンジは 160g と確定します。

リンゴとナシは、リンゴが 180g であれば ナシが 140g です。リンゴが 140g であれば、ナシが 100g となります。

まとめると重量は、以下の２パターンのどちらかです。

以下、選択肢を検討します。 

選択肢 1 ですが
どちらのパターンでも、最も重いのはカキですが、最も軽いのはリンゴではありません。選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 ですが
パターン２において、２番目に重いのがオレンジですが、３番目はモモではありません。選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 は妥当です。
パターン２に該当します。

選択肢 4 ですが
パターン１において、２番目に軽いのがナシですが、最も重いのはカキです。選択肢 4 は誤りです。

選択肢 5 ですが
パターン１において、最も軽いのがモモですが、３番目に重いのはオレンジです。選択肢 5 は誤りです。

以上より、正解は 3 です。

図のような網掛け部分がある正方形を、直線上を滑ることなく回転させたとき、網掛部分が描く軌跡として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

軌跡なので、選択肢の消去法で考えます。

網掛け部分全体の回転を考えるのは難しいので、特徴的な１点に注目するとよいです。１例として、まず網掛け部分の左上隅の頂点に注目します。選択肢 を見ると、選択肢 3 が明らかに誤りです。

同様に、網掛け部分の右下隅の頂点に注目します。選択肢を比較すると 選択肢 1,2 と 4,5 が異なります。そして、選択肢 1,2 のようにやや小さな弧を描くと考えられます。選択肢 4,5 は誤りです。

選択肢 1,2 の違いが現れる所に注目します。正方形をコロンと １回 転がしたところまで同じで、次で大きな違いがあると読み取れるのではないでしょうか。そのため、まず網掛け部分がある正方形を転がした後のイメージを手元に書いてみます。

先ほど同様、左上の１点に注目して回転させてみれば、選択肢 2 のように大きい弧を描くのはおかしいと判断できるのではないでしょうか。選択肢 2 は誤りです。

以上より、正解は 1 です。

類題 2021 no13 軌跡

ある紙を点線どおりに折っていった場合、最後に重なって一つの三角形になるのはどれか。ただし、三角形は全て合同な直角二等辺三角形で、点線以外のところで折ってはならず、また、折らない点線があってはならないものとする。

　解 説　　　　　

本番では問題用紙を切り取ればわかると考える問題ではないでしょうか。ですが問題表紙に「・・・切り取ったり・・・しないでください」と注意事項があるので、破くと多分試験失格になるので注意しましょう。

頭の中でいきなり全体の端っこから折ることができる人はよいのですが、空間的な操作があまり得意でない人の現実的アプローチとしては「わかりやすいシンプルな２つの直角二等辺三角形を折るイメージで考える」ことだと思います。以下の図を参考にしてみてください。

すると選択肢の三角形を折り込んでいくと、「ん？」と引っかかる所があるのではないでしょうか。選択肢 1 を例に考えてみると

上のように、 90° と 45° の角が接する部分（赤丸部分）があると、折った時きれいに三角が重なりません。この部分があるとダメなので、選択肢 1,2,3,5 は誤りです。

以上より、正解は 4 です。

醤油 と本みりんが同量あり、これらを使用して蕎麦 つゆと煮物を作る。蕎麦つゆには醤油と本みりんを 4：5 の割合で使用し、煮物には醤油と本みりんを 1：1 の割合で使用する。

初めに、蕎麦つゆを作った。このとき、残った醤油の量と残った本みりんの量の比は 8：7であった。次に、蕎麦つゆに使用した醤油と同量の醤油と本みりんを使って、煮物を作った。このとき、残った醤油の量と残った本みりんの量の比はいくらか。

　解 説　　　　　

調味料１：醤油、調味料２：本みりん　が同量あり、まず蕎麦つゆ（しょうゆ：みりんを　４：５使う）を作り、その後で煮物（しょうゆ：みりんを１：１使う）という流れの問題です。問題文に具体的な量が出てこないので、都合よい具体的数字を使うとわかりやすいです。

例えばですが、蕎麦つゆを作った後に残った醤油：みりんが８：７だった　とあるので、この時 80 mL と 70mL 残っていたとしましょう。（単位は適当で OK ですし、重さで考えて g とかでもよいです）。

蕎麦つゆに　しょうゆ：みりんを　４：５　使っており、元々同量だったことから、比における差の「１」が「10mL の差」に対応すると考えられます。そのため、元々しょうゆ 120mL、みりん 120mL とわかります。

次に煮物を作ります。蕎麦つゆ作成に使ったのと同量、つまり 40mL の醤油とみりんを使うので、残るのは しょうゆ：80 ー 40 = 40、みりん：70 ー 40 = 30 です。比で表せば４：３です。

以上より、正解は 4 です。

図のように、直角二等辺三角形を直線 l を軸として1 回転させたときにできる立体の体積として正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

軸から離れた部分があると、回転させた時に複雑になります。そのため「軸にくっついている正方形の回転体」ー「軸にくっついている直角三角形の回転体」として考えるとよいです。

円柱の体積は「底面積 × 高さ」です。円錐の体積は「底面積 × 高さ × 1/3」です。底面積は共に半径１の円なので、共に π です。円柱の体積が π × 1、円錐の体積が π × 1 × 1/3 となります。

従って、求める体積は
πーπ/3
= 2π/3　です。

以上より、正解は 3 です。

類題 H30 技術 no4 円錐の体積

Ａ、Ｂの 2 人がそれぞれ自動車を使って地点 Ｘ を出発し、地点 Ｙ を経由して、地点 Ｚ にその日のうちに到着した。次のことが分かっているとき、区間 ＸＹ 及び区間 ＹＺ のそれぞれの距離の和はいくらか。ただし、各人は各区間をそれぞれ一定の速さで移動していたものとする。

○ Ａ は午前 10  時 00 分に地点 Ｘ を出発し、区間 ＸＹ を時速 40 km で移動し、地点 Ｚ に午前 11 時 45 分に到着した。

○ Ｂ は午前 9 時 00 分に地点 Ｘ を出発し、区間 ＹＺ を時速 30 km で移動し、地点 Ｚ に午前 11 時 30 分に到着した。

○ 区間 ＸＹ の距離は、区間 ＹＺ の距離の半分であった。

○ 区間 ＹＺ における Ａ の速さは、区間 ＸＹ における Ｂ の速さと同じであった。

1．80 km
2．90 km
3．100 km
4．110 km
5．120 km

　解 説　　　　　

箇条書きの条件を上から条件１、条件２・・・とします。文章題で、一読してイメージがわかない問題はまず図示です。図示の一例が以下のようになります。条件３をふまえ、XY の距離と YZ の距離を大体１：２として描くとよいです。

XY：YZ = １：２であることから、和が３の倍数の時、それぞれきれいな整数になります。選択肢の値の中で３の倍数は 90、120 です。そこでまず小さい方の値である選択肢 2 を正解と仮定します。XY = 30km、YZ = 60km と仮定するということです。

「A：XY 間 かかる時間」は 30/40 = 3/4 時間 = 45 分です。すると、到着が 11:45 なので YZ 間を 1 時間で移動したことになります。「A ：YZ 間　速さ」は　60 ÷ 1 = 60 なので、時速 60km とわかります。問題文より、 B の XY 間の速さも 時速 60km です。

「B：XY 間 かかる時間」は 30/60 = 1/2 時間 = 30 分です。YZ 間は 60 ÷ 30 = 2 時間です。全体で 2.5 時間かかるので、問題文と矛盾ありません。これが正解です。

以上より、正解は 2 です。

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【別解　文字を使って表す　※おすすめしません　複雑です。でも文字での計算が好きな人は、こちらの方がいいかもしれません】

XY 間を x km とけば、YZ 間が 2x km と表せます。

A に注目すると、XY 間　かかった時間が x/40 です。1 時間 45 分 = 7/4 時間 = 70/40 時間なので、YZ 間　かかった時間が (70-x)/40 と表せます。

速さ = 道のり ÷ かかった時間　なので、A の YZ 間の速さは 2x ÷ (70-x)/40 = 80x/(70-x) です。これが B の XY 間の速さでもあります。

すると、B の XY 間　かかった時間は x ÷ 80x/(70-x) = (70-x)/80・・・（１）です。YZ 間　かかった時間は 2x/30・・・（２）です。（１）＋（２）＝ 2.5 となるような x を解くと x = 30 です。そのため、XY = 30km、YZ = 60km で、合計 90km となります。